Vaqtinchalik ( A,b), A X- berilgan oraliqda tasodifiy tanlangan nuqta. Keling, dalil keltiraylik X oshirish Dx (ijobiy yoki salbiy).

y =f(x) funksiyasi quyidagiga teng Du o‘sishini oladi:

Dy = f(x + Dx)-f(x).

Cheksiz kichik Dx da oshirish Dy ham cheksiz kichikdir.

Masalan:

Misol yordamida funktsiyaning hosilasini yechishni ko'rib chiqamiz erkin tushish jismlar.

t 2 = t l + Dt bo'lgani uchun, u holda

.

Limitni hisoblab, biz topamiz:

Funksiya chegarasini hisoblashda t ning doimiyligini ta'kidlash uchun t 1 yozuvi kiritilgan. t 1 ixtiyoriy vaqt qiymati bo'lgani uchun 1 indeksni o'chirish mumkin; keyin biz olamiz:

Tezlik ekanligini ko'rish mumkin v, yo'l kabi s, Mavjud funktsiyasi vaqt. Funktsiya turi v butunlay funksiya turiga bog'liq s, shuning uchun funktsiya s go'yo funktsiyani "ishlab chiqarish" kabi v. Shuning uchun ism " hosila funksiyasi».

Boshqasini ko'rib chiqing misol.

Funktsiya hosilasining qiymatini toping:

y = x 2 da x = 7.

Yechim. Da x = 7 bizda ... bor y=7 2 = 49. Keling, dalil keltiraylik X oshirish Δ X. Bahs teng bo'ladi 7 + Δ X, va funksiya qiymatni oladi (7 + Δ x) 2.

Yangi vazifalar paydo bo'ldi. Keling, ularning yechimini ko'rib chiqaylik.

B8 vazifasining prototipi (№ 317543)

Rasmda y=f(x) funksiyaning grafigi ko'rsatilgan va -2, -1, 1, 2 nuqtalar bu nuqtalarning qaysi birida hosilaning qiymati eng katta bo'ladi? Iltimos, javobingizda ushbu nuqtani ko'rsating.

Bizga ma'lumki, u deyiladi

argumentning o'sishi nolga moyil bo'lganda, funktsiya o'sishining argument o'sishiga nisbati chegarasi:

Bir nuqtada hosila ko'rsatadi funktsiyaning o'zgarish tezligi ayni paytda. Funksiya qanchalik tez o'zgaradi, ya'ni funktsiyaning o'sishi qanchalik katta bo'lsa, teginishning moyillik burchagi shunchalik katta bo'ladi. Muammo hosila qiymati eng katta bo'lgan nuqtani aniqlashni talab qilganligi sababli, biz abscissalar -1 va 1 bo'lgan nuqtalarni ko'rib chiqishdan chiqaramiz - bu nuqtalarda funktsiya kamayadi va ulardagi hosila manfiy.

Funktsiya -2 va 2 nuqtalarda ortadi. Biroq, ularda u boshqacha ortadi - -2 nuqtada funktsiya grafigi 2 nuqtaga qaraganda tik ko'tariladi va shuning uchun bu nuqtada funktsiyaning o'sishi va shuning uchun hosila, kattaroqdir.

Javob: -2

Va shunga o'xshash vazifa:

B8 vazifasining prototipi (№ 317544)

Rasmda funktsiyaning grafigi ko'rsatilgan va -2, -1, 1, 4 nuqtalari bu nuqtalarning qaysi birida eng kichik hisoblanadi? Iltimos, javobingizda ushbu nuqtani ko'rsating.

Ushbu muammoni hal qilish avvalgisiga o'xshash "to'liq teskari"

Bizni lotin qaysi nuqtada olishi qiziqtiradi eng kichik qiymat, ya'ni biz funktsiya eng tez pasayish nuqtasini qidiramiz - grafikda bu "tushish" eng tik bo'lgan nuqtadir. Bu 4-abtsissa nuqtasi.

B9 muammosi funksiya yoki hosila grafigini beradi, undan quyidagi miqdorlardan birini aniqlash kerak:

1. X 0 nuqtadagi hosilaning qiymati,
2. Maksimal yoki minimal ball (ekstremum ball),
3. Ortib boruvchi va kamayuvchi funksiyalarning intervallari (monotonlik oraliqlari).

Bu masalada keltirilgan funksiyalar va hosilalar doimo uzluksiz bo‘lib, yechimni ancha osonlashtiradi. Vazifa bo'limga tegishli bo'lishiga qaramasdan matematik tahlil, bu hatto eng zaif talabalarning imkoniyatlariga to'liq mos keladi, chunki bu erda chuqur nazariy bilim talab qilinmaydi.

Losmalar, ekstremum nuqtalar va monotonlik oraliqlarining qiymatini topish uchun oddiy va universal algoritmlar mavjud - ularning barchasi quyida muhokama qilinadi.

Ahmoqona xatolarga yo'l qo'ymaslik uchun B9 muammosining shartlarini diqqat bilan o'qing: ba'zida siz juda uzun matnlarga duch kelasiz, ammo yechim yo'nalishiga ta'sir qiladigan bir nechta muhim shartlar mavjud.

Hosila qiymatini hisoblash. Ikki nuqta usuli

Agar muammoga f(x) funksiyaning grafigi qaysidir x 0 nuqtasida shu grafaga tangens berilgan bo‘lsa va bu nuqtada hosilaning qiymatini topish talab etilsa, quyidagi algoritm qo‘llaniladi:

1. Tangens grafigida ikkita "adekvat" nuqtani toping: ularning koordinatalari butun son bo'lishi kerak. Bu nuqtalarni A (x 1 ; y 1) va B (x 2 ; y 2) deb belgilaymiz. Koordinatalarni to'g'ri yozing - bu yechimning asosiy nuqtasi va bu erda har qanday xato noto'g'ri javobga olib keladi.
2. Koordinatalarni bilgan holda, Dx = x 2 − x 1 argumentining ortishi va Dy = y 2 − y 1 funksiyasining o‘sishini hisoblash oson.
3. Nihoyat, hosila D = Dy/Dx qiymatini topamiz. Boshqacha qilib aytganda, funktsiyaning o'sishini argumentning o'sishiga bo'lish kerak - va bu javob bo'ladi.

Yana bir bor eslatib o'tamiz: A va B nuqtalarni tez-tez sodir bo'lganidek f(x) funksiya grafigidan emas, balki tangensdan izlash kerak. Tangens chizig'ida kamida ikkita bunday nuqta bo'lishi kerak - aks holda muammo to'g'ri tuzilmaydi.

A (−3; 2) va B (−1; 6) nuqtalarini ko‘rib chiqing va o‘sishlarni toping:
Dx = x 2 - x 1 = -1 - (-3) = 2; Dy = y 2 - y 1 = 6 - 2 = 4.

Hosilaning qiymati topilsin: D = Dy/Dx = 4/2 = 2.

Vazifa. Rasmda y = f(x) funksiyaning grafigi va abtsissa x 0 nuqtada unga teginish ko'rsatilgan. f(x) funksiyaning x 0 nuqtadagi hosilasi qiymatini toping.

A (0; 3) va B (3; 0) nuqtalarini ko'rib chiqing, o'sishlarni toping:
Dx = x 2 - x 1 = 3 - 0 = 3; Dy = y 2 - y 1 = 0 - 3 = -3.

Endi hosila qiymatini topamiz: D = Dy/Dx = -3/3 = -1.

Vazifa. Rasmda y = f(x) funksiyaning grafigi va abtsissa x 0 nuqtada unga teginish ko'rsatilgan. f(x) funksiyaning x 0 nuqtadagi hosilasi qiymatini toping.

A (0; 2) va B (5; 2) nuqtalarini ko'rib chiqing va o'sishlarni toping:
Dx = x 2 - x 1 = 5 - 0 = 5; Dy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Hosilaning qiymatini topish qoladi: D = Dy/Dx = 0/5 = 0.

Oxirgi misoldan biz qoidani shakllantirishimiz mumkin: agar tangens OX o'qiga parallel bo'lsa, teginish nuqtasida funktsiyaning hosilasi nolga teng. Bunday holda, siz hech narsani hisoblashingiz shart emas - shunchaki grafikaga qarang.

Maksimal va minimal ballarni hisoblash

Ba'zan B9 masalada funktsiya grafigi o'rniga hosila grafigi beriladi va funktsiyaning maksimal yoki minimal nuqtasini topish talab etiladi. Bunday vaziyatda ikki nuqtali usul foydasiz, ammo boshqa, hatto oddiyroq algoritm ham mavjud. Birinchidan, terminologiyani aniqlaymiz:

1. x 0 nuqtasi f(x) funksiyaning maksimal nuqtasi deyiladi, agar bu nuqtaning qaysidir qo'shnisida quyidagi tengsizlik bajarilsa: f(x 0) ≥ f(x).
2. x 0 nuqtasi f(x) funksiyaning minimal nuqtasi deyiladi, agar shu nuqtaning qaysidir qo'shnisida quyidagi tengsizlik bajarilsa: f(x 0) ≤ f(x).

Hosil grafigining maksimal va minimal nuqtalarini topish uchun quyidagi amallarni bajaring:

1. Barcha keraksiz ma'lumotlarni olib tashlagan holda lotin grafigini qayta chizing. Amaliyot shuni ko'rsatadiki, keraksiz ma'lumotlar faqat qaror qabul qilishga xalaqit beradi. Shuning uchun biz koordinata o'qida lotinning nollarini belgilaymiz - va bu.
2. Nollar orasidagi intervallardagi hosila belgilarini toping. Agar biron bir x 0 nuqtasi uchun f'(x 0) ≠ 0 ekanligi ma'lum bo'lsa, u holda faqat ikkita variant mumkin: f'(x 0) ≥ 0 yoki f'(x 0) ≤ 0. Hosilning belgisi: Dastlabki chizmadan aniqlash oson: hosilaviy grafik OX oʻqidan yuqorida joylashgan boʻlsa, f'(x) ≥ 0. Va aksincha, hosila grafik OX oʻqi ostida joylashgan boʻlsa, f'(x) ≤ 0 boʻladi.
3. Biz lotinning nollarini va belgilarini yana tekshiramiz. Belgining minusdan plyusga o'zgarishi minimal nuqtadir. Aksincha, lotin belgisi ortiqcha dan minusga o'zgartirilsa, bu maksimal nuqtadir. Hisoblash har doim chapdan o'ngga amalga oshiriladi.

Ushbu sxema faqat uzluksiz funktsiyalar uchun ishlaydi - B9 muammosida boshqasi yo'q.

Vazifa. Rasmda f(x) funksiyaning [−5 oraliqda aniqlangan hosilasining grafigi ko'rsatilgan; 5]. f(x) funksiyaning shu segmentdagi minimal nuqtasini toping.

Keling, keraksiz ma'lumotlardan xalos bo'laylik va faqat chegaralarni qoldiramiz [−5; 5] va hosila nollari x = -3 va x = 2,5. Shuningdek, biz belgilarga e'tibor qaratamiz:

Shubhasiz, x = −3 nuqtada hosilaning belgisi minusdan plyusga o'zgaradi. Bu minimal nuqta.

Vazifa. Rasmda f(x) funksiyaning [−3 oraliqda aniqlangan hosilasining grafigi ko'rsatilgan; 7]. f(x) funksiyaning shu segmentdagi maksimal nuqtasini toping.

Keling, faqat chegaralarni qoldirib, grafikni qayta chizamiz [−3; 7] va hosila nollari x = −1,7 va x = 5. Hosil bo‘lgan grafikdagi hosilaning belgilarini qayd qilaylik. Bizda ... bor:

Shubhasiz, x = 5 nuqtasida lotin belgisi ortiqcha dan minusga o'zgaradi - bu maksimal nuqta.

Vazifa. Rasmda f(x) funksiyaning [−6 oraliqda aniqlangan hosilasining grafigi ko'rsatilgan; 4]. f(x) funksiyaning [−4” segmentiga tegishli maksimal nuqtalari sonini toping; 3].

Masalaning shartlaridan kelib chiqadiki, grafikning faqat segment bilan chegaralangan qismini ko'rib chiqish kifoya [−4; 3]. Shuning uchun biz yangi grafik quramiz, unda biz faqat chegaralarni belgilaymiz [-4; 3] va uning ichidagi hosilaning nollari. Ya'ni, x = -3,5 va x = 2 nuqtalari. Biz quyidagilarni olamiz:

Bu grafikda faqat bitta maksimal nuqta x = 2. Aynan shu nuqtada hosilaning belgisi ortiqcha dan minusga o'zgaradi.

Butun son bo'lmagan koordinatali nuqtalar haqida kichik eslatma. Masalan, oxirgi masalada x = -3,5 nuqtasi ko'rib chiqildi, ammo xuddi shu muvaffaqiyat bilan biz x = -3,4 ni olishimiz mumkin. Agar muammo to'g'ri tuzilgan bo'lsa, bunday o'zgarishlar javobga ta'sir qilmasligi kerak, chunki "belgilangan yashash joyisiz" nuqtalar muammoni hal qilishda bevosita ishtirok etmaydi. Albatta, bu hiyla butun sonlar bilan ishlamaydi.

Funksiyaning ortishi va kamayuvchi oraliqlarini topish

Bunday masalada maksimal va minimal nuqtalar kabi, funktsiyaning o'zi ortib yoki kamayadigan sohalarni topish uchun hosilaviy grafikdan foydalanish taklif etiladi. Birinchidan, o'sish va kamayish nima ekanligini aniqlaymiz:

1. Agar ushbu segmentning istalgan ikkita x 1 va x 2 nuqtalari uchun quyidagi fikr to'g'ri bo'lsa, f(x) funksiya segmentda ortib borayotgan deyiladi: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Boshqacha qilib aytganda, argument qiymati qanchalik katta bo'lsa, funktsiya qiymati shunchalik katta bo'ladi.
2. f(x) funksiya, agar bu segmentning istalgan ikkita x 1 va x 2 nuqtalari uchun quyidagi fikr to'g'ri bo'lsa, segmentdagi kamayuvchi deyiladi: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Bular. Kattaroq argument qiymati kichikroq funktsiya qiymatiga mos keladi.

Keling, shakllantiramiz etarli sharoitlar ko'tarilish va pasayish:

1. Uzluksiz f(x) funksiyaning segmentda ortishi uchun uning segment ichidagi hosilasi musbat bo'lishi kifoya, ya'ni. f’(x) ≥ 0.
2. Uzluksiz f(x) funksiya segmentida kamayishi uchun uning segment ichidagi hosilasi manfiy bo'lishi kifoya, ya'ni. f’(x) ≤ 0.

Keling, bu gaplarni dalilsiz qabul qilaylik. Shunday qilib, biz o'sish va pasayish intervallarini topish sxemasini olamiz, bu ko'p jihatdan ekstremum nuqtalarni hisoblash algoritmiga o'xshaydi:

1. Barcha keraksiz ma'lumotlarni olib tashlang. Hosilning asl grafigida bizni birinchi navbatda funksiyaning nollari qiziqtiradi, shuning uchun biz faqat ularni qoldiramiz.
2. Nol orasidagi oraliqda hosilaning belgilarini belgilang. f’(x) ≥ 0 bo’lgan joyda funksiya ortadi, f’(x) ≤ 0 bo’lsa, u kamayadi. Agar muammo x o'zgaruvchisiga cheklovlar qo'ygan bo'lsa, biz ularni qo'shimcha ravishda yangi grafikda belgilaymiz.
3. Endi biz funktsiyaning xatti-harakati va cheklovlarni bilganimizdan so'ng, muammoda talab qilinadigan miqdorni hisoblash qoladi.

Vazifa. Rasmda f(x) funksiyaning [−3 oraliqda aniqlangan hosilasining grafigi ko'rsatilgan; 7.5]. f(x) funksiyaning kamayish oraliqlarini toping. Javobingizda ushbu intervallarga kiritilgan butun sonlar yig'indisini ko'rsating.

Odatdagidek, grafikni qayta chizamiz va chegaralarni belgilaymiz [−3; 7.5], shuningdek x = -1.5 va x = 5.3 hosilasining nollari. Keyin hosila belgilarini qayd etamiz. Bizda ... bor:

(− 1,5) oraliqda hosila manfiy bo‘lgani uchun bu funksiya kamayuvchi intervaldir. Ushbu oraliq ichidagi barcha sonlarni yig'ish qoladi:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Vazifa. Rasmda f(x) funksiyaning [−10 oraliqda aniqlangan hosilasining grafigi ko'rsatilgan; 4]. f(x) funksiyaning ortish oraliqlarini toping. Javobingizda ulardan eng kattasining uzunligini ko'rsating.

Keling, keraksiz ma'lumotlardan xalos bo'laylik. Keling, faqat chegaralarni qoldiramiz [−10; 4] va hosilaning nollari, bu safar ulardan to‘rttasi bor edi: x = −8, x = −6, x = −3 va x = 2. Hosilning belgilarini belgilaymiz va quyidagi rasmni olamiz:

Biz funktsiyani oshirish intervallari bilan qiziqamiz, ya'ni. f’(x) ≥ 0. Grafikda ikkita shunday interval mavjud: (−8; −6) va (−3; 2). Keling, ularning uzunligini hisoblaylik:
l 1 = - 6 - (-8) = 2;
l 2 = 2 - (−3) = 5.

Intervallarning eng kattasining uzunligini topishimiz kerakligi sababli, javob sifatida l 2 = 5 qiymatini yozamiz.

Aziz do'stlar! Hosila bilan bog'liq vazifalar guruhi vazifalarni o'z ichiga oladi - shart funktsiya grafigini beradi, bu grafikda bir nechta nuqta va savol:

Qaysi nuqtada hosila eng katta (eng kichik) bo'ladi?

Keling, qisqacha takrorlaymiz:

Nuqtadagi hosila tangensning qiyalik burchagiga tenggrafikdagi bu nuqta.

UTangensning global koeffitsienti, o'z navbatida, bu tangensning moyillik burchagi tangensiga teng.

*Bu tangens va x o'qi orasidagi burchakka ishora qiladi.

1. Funksiyaning ortib borishi oraliqlarida hosila ijobiy qiymatga ega.

2. Uning kamayish oraliqlarida hosila bor salbiy ma'no.

Quyidagi eskizni ko'rib chiqing:

1,2,4 nuqtalarda funktsiyaning hosilasi manfiy qiymatga ega, chunki bu nuqtalar kamayuvchi intervallarga tegishli.

3,5,6 nuqtalarda funksiya hosilasi musbat qiymatga ega, chunki bu nuqtalar ortib boruvchi intervallarga tegishli.

Ko'rib turganingizdek, hosilaning ma'nosi bilan hamma narsa aniq, ya'ni grafikning ma'lum bir nuqtasida qanday belgi (ijobiy yoki salbiy) borligini aniqlash qiyin emas.

Qolaversa, bu nuqtalarda tangenslarni aqliy ravishda tuzadigan bo‘lsak, 3, 5 va 6 nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqlar oX o‘qi bilan 0 dan 90 o gacha bo‘lgan burchaklar, 1, 2 va 4 nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqlar hosil qilishini ko‘ramiz. oX o'qi bilan burchaklar 90 o dan 180 o gacha.

*Munosabat aniq: ortib borayotgan funksiyalar oraliqlariga tegishli nuqtalardan oʻtuvchi tangenslar oX oʻqi bilan oʻtkir burchaklar hosil qiladi, kamayuvchi funksiyalar oraliqlariga mansub nuqtalardan oʻtuvchi tangenslar oX oʻqi bilan oʻtkir burchaklar hosil qiladi.

Endi muhim savol!

Hosilning qiymati qanday o'zgaradi? Axir, tangens grafikning turli nuqtalarida doimiy funktsiya grafikning qaysi nuqtasidan o'tishiga qarab turli burchaklar hosil qiladi.

* Yoki gapirganda oddiy tilda, tangens go'yo "gorizontal" yoki "vertikal" sifatida joylashgan. Qarang:

To'g'ri chiziqlar oX o'qi bilan 0 dan 90 o gacha bo'lgan burchaklarni hosil qiladi

To'g'ri chiziqlar oX o'qi bilan 90 ° dan 180 ° gacha bo'lgan burchaklarni hosil qiladi

Shuning uchun, agar sizda biron bir savol bo'lsa:

— grafikdagi berilgan nuqtalarning qaysi birida hosila eng kichik qiymatga ega?

- grafikdagi berilgan nuqtalarning qaysi birida hosila qiymatga ega eng yuqori qiymat?

u holda javob berish uchun tangens burchak tangensining qiymati 0 dan 180 o gacha bo'lgan oraliqda qanday o'zgarishini tushunish kerak.

* Yuqorida aytib o'tilganidek, funktsiyaning bir nuqtadagi hosilasi qiymati tangensning oX o'qiga moyillik burchagi tangensiga teng.

Tangens qiymati quyidagicha o'zgaradi:

To'g'ri chiziqning og'ish burchagi 0 ° dan 90 ° gacha o'zgarganda, teginish qiymati va shuning uchun hosila mos ravishda 0 dan +∞ gacha o'zgaradi;

To'g'ri chiziqning moyillik burchagi 90 ° dan 180 ° gacha o'zgarganda, teginish qiymati va shuning uchun hosila mos ravishda -∞ 0 ga o'zgaradi.

Buni tangens funksiya grafigidan yaqqol ko‘rish mumkin:

Oddiy qilib aytganda:

0 ° dan 90 ° gacha bo'lgan tangens moyillik burchagida

0 o ga qanchalik yaqin bo'lsa, hosilaning qiymati shunchalik katta bo'ladi nolga yaqin (musbat tomonda).

Burchak 90 ° ga qanchalik yaqin bo'lsa, hosila qiymati shunchalik ko'p +∞ tomon oshadi.

90 ° dan 180 ° gacha bo'lgan tangens moyillik burchagi bilan

90 o ga qanchalik yaqin bo'lsa, hosila qiymati –∞ tomon kamayadi.

Burchak 180 ° ga qanchalik yaqin bo'lsa, lotin qiymati qanchalik katta bo'lsa, nolga yaqin bo'ladi (salbiy tomonda).

317543. Rasmda y = funksiyaning grafigi ko'rsatilgan f(x) va nuqtalar belgilanadi–2, –1, 1, 2. Ushbu nuqtalarning qaysi birida hosila eng katta? Iltimos, javobingizda ushbu nuqtani ko'rsating.

Bizda to'rtta nuqta bor: ulardan ikkitasi funktsiya kamayadigan intervallarga (bular -1 va 1 nuqtalar) va ikkitasi funktsiya o'sadigan intervallarga (bular -2 va 2 nuqtalar) tegishli.

Darhol xulosa qilishimiz mumkinki, -1 va 1 nuqtalarda hosila salbiy qiymatga ega, -2 va 2 nuqtalarda esa ijobiy qiymatga ega. Shuning uchun, bu holda, -2 va 2 nuqtalarni tahlil qilish va ulardan qaysi biri eng katta qiymatga ega bo'lishini aniqlash kerak. Ko'rsatilgan nuqtalardan o'tuvchi tangenslarni tuzamiz:

a to'g'ri chiziq bilan abstsissa o'qi orasidagi burchak tangensining qiymati b to'g'ri chiziq va bu o'q orasidagi burchak tangensining qiymatidan katta bo'ladi. Bu -2 nuqtadagi hosilaning qiymati eng katta bo'lishini anglatadi.

Keling, quyidagi savolga javob beraylik: qaysi nuqtada –2, –1, 1 yoki 2 hosila qiymati eng salbiy hisoblanadi? Iltimos, javobingizda ushbu nuqtani ko'rsating.

Losmalar kamayuvchi intervallarga tegishli nuqtalarda manfiy qiymatga ega bo'ladi, shuning uchun keling, -2 va 1 nuqtalarni ko'rib chiqaylik. Ulardan o'tuvchi tangenslarni tuzamiz:

Biz b to'g'ri chiziq va oX o'qi orasidagi o'tmas burchak 180 ga “yaqinroq” ekanligini ko'ramiz. O , shuning uchun uning tangensi a to'g'ri chiziq va oX o'qi hosil qilgan burchak tangensidan katta bo'ladi.

Shunday qilib, x = 1 nuqtasida hosilaning qiymati eng katta salbiy bo'ladi.

317544. Rasmda y = funksiyaning grafigi ko'rsatilgan f(x) va nuqtalar belgilanadi–2, –1, 1, 4. Ushbu nuqtalarning qaysi birida hosila eng kichik? Iltimos, javobingizda ushbu nuqtani ko'rsating.

Bizda to'rtta nuqta bor: ulardan ikkitasi funktsiya kamayadigan intervallarga (bular -1 va 4 nuqtalar) va ikkitasi funktsiya ortib boradigan intervallarga (bular -2 va 1 nuqtalar) tegishli.

Darhol xulosa qilishimiz mumkinki, -1 va 4 nuqtalarda hosila salbiy qiymatga ega, -2 va 1 nuqtalarda esa ijobiy qiymatga ega. Shuning uchun, bu holda, -1 va 4 nuqtalarni tahlil qilish va ulardan qaysi biri eng kichik qiymatga ega bo'lishini aniqlash kerak. Ko'rsatilgan nuqtalardan o'tuvchi tangenslarni tuzamiz:

a to'g'ri chiziq bilan abscissa o'qi orasidagi burchak tangensining qiymati b to'g'ri chiziq bilan bu o'q orasidagi burchak tangensining qiymatidan katta bo'ladi. Bu x = 4 nuqtadagi hosilaning qiymati eng kichik bo'lishini anglatadi.

Javob: 4

Umid qilamanki, men sizni yozish miqdori bilan "ortiqcha yuklamadim". Aslida, hamma narsa juda oddiy, siz faqat lotinning xususiyatlarini tushunishingiz kerak, uning geometrik ma'no va burchak tangensi 0 dan 180 o gacha qanday o'zgarishi.

1. Birinchidan, bu nuqtalarda hosila belgilarini aniqlang (+ yoki -) va kerakli nuqtalarni tanlang (qo'yilgan savolga qarab).

2. Shu nuqtalarda tangenslarni tuzing.

3. Tangesoid grafigi yordamida burchaklarni sxematik tarzda belgilang va aks ettiringIskandar.

P.S: Ijtimoiy tarmoqlardagi sayt haqida ma'lumot bersangiz, minnatdor bo'laman.

Funktsiyaning hosilasi eng qiyin mavzulardan biridir maktab o'quv dasturi. Har bir bitiruvchi lotin nima degan savolga javob bermaydi.

Ushbu maqola lotin nima ekanligini va nima uchun kerakligini sodda va tushunarli tarzda tushuntiradi.. Endi biz taqdimotda matematik qat'iylikka intilmaymiz. Eng muhimi, ma'noni tushunishdir.

Keling, ta'rifni eslaylik:

Hosila - bu funktsiyaning o'zgarish tezligi.

Rasmda uchta funktsiyaning grafiklari ko'rsatilgan. Sizningcha, qaysi biri tezroq o'sadi?

Javob aniq - uchinchisi. U eng yuqori o'zgarish tezligiga ega, ya'ni eng katta hosiladir.

Mana yana bir misol.

Kostya, Grisha va Matvey bir vaqtning o'zida ishga joylashdilar. Keling, ularning daromadlari yil davomida qanday o'zgarganini ko'rib chiqaylik:

Grafik bir vaqtning o'zida hamma narsani ko'rsatadi, shunday emasmi? Kostyaning daromadi olti oy ichida ikki baravar oshdi. Va Grishaning daromadi ham oshdi, lekin ozgina. Va Matveyning daromadi nolga kamaydi. Boshlanish shartlari bir xil, lekin funktsiyaning o'zgarish tezligi, ya'ni hosila, - har xil. Matveyga kelsak, uning daromadi odatda salbiy.

Intuitiv ravishda biz funktsiyaning o'zgarish tezligini osongina taxmin qilamiz. Lekin buni qanday qilamiz?

Biz haqiqatan ham ko'rib chiqayotgan narsa bu funktsiya grafigining qanchalik keskin ko'tarilishi (yoki pastga). Boshqacha qilib aytganda, x o'zgarganda y qanchalik tez o'zgaradi? Shubhasiz, turli nuqtalarda bir xil funktsiya bo'lishi mumkin boshqa ma'no lotin - ya'ni tezroq yoki sekinroq o'zgarishi mumkin.

Funktsiyaning hosilasi belgilanadi.

Grafik yordamida uni qanday topish mumkinligini sizga ko'rsatamiz.

Ayrim funksiyaning grafigi chizilgan. Keling, abtsissasi bor nuqtani olaylik. Bu nuqtada funksiya grafigiga tangens chizamiz. Biz funktsiya grafigi qanchalik keskin ko'tarilishini taxmin qilmoqchimiz. Buning uchun qulay qiymat tangens burchakning tangensi.

Funktsiyaning nuqtadagi hosilasi shu nuqtada funksiya grafigiga chizilgan tangens burchakning tangensiga teng.

E'tibor bering - tangensning moyillik burchagi sifatida biz tangens va orasidagi burchakni olamiz ijobiy yo'nalish boltalar

Ba'zan o'quvchilar funktsiya grafigiga teginish nima ekanligini so'rashadi. Bu faqat bitta bo'lgan to'g'ri chiziq umumiy nuqta grafik bilan va bizning rasmimizda ko'rsatilganidek. Bu aylanaga teguvchiga o'xshaydi.

Keling, topamiz. Biz o'tkir burchakning tangensini eslaymiz to'g'ri uchburchak qarama-qarshi tomonning qo'shni tomonga nisbatiga teng. Uchburchakdan:

Biz funktsiya formulasini bilmagan holda grafik yordamida hosila topdik. Bunday muammolar ko'pincha matematikadan Yagona davlat imtihonida raqam ostida topiladi.

Yana bir muhim munosabatlar mavjud. Eslatib o'tamiz, to'g'ri chiziq tenglama bilan berilgan

Ushbu tenglamadagi miqdor deyiladi to'g'ri chiziqning qiyaligi. U to'g'ri chiziqning o'qga moyillik burchagi tangensiga teng.

.

Biz buni tushunamiz

Keling, ushbu formulani eslaylik. Bu hosilaning geometrik ma'nosini ifodalaydi.

Funktsiyaning nuqtadagi hosilasi shu nuqtadagi funksiya grafigiga chizilgan tangensning qiyaligiga teng.

Boshqacha qilib aytganda, hosila tangens burchakning tangensiga teng.

Aytganimizdek, bir xil funktsiya turli nuqtalarda turli hosilalarga ega bo'lishi mumkin. Keling, hosilaning funktsiya harakati bilan qanday bog'liqligini ko'rib chiqaylik.

Keling, qandaydir funksiyaning grafigini chizamiz. Bu funktsiya ba'zi sohalarda ko'paysin, boshqalarida kamaysin va bilan turli tezliklarda. Va bu funktsiya maksimal va minimal nuqtalarga ega bo'lsin.

Bir nuqtada funktsiya kuchayadi. Nuqtada chizilgan grafikning tangensi hosil bo'ladi o'tkir burchak musbat o'q yo'nalishi bilan. Bu nuqtadagi hosila ijobiy ekanligini anglatadi.

Shu nuqtada bizning funktsiyamiz pasayadi. Bu nuqtadagi tangens o'qning musbat yo'nalishi bilan o'tmas burchak hosil qiladi. O'tkir burchakning tangensi manfiy bo'lgani uchun nuqtadagi hosila manfiy bo'ladi.

Mana nima sodir bo'ladi:

Agar funktsiya ortib borayotgan bo'lsa, uning hosilasi ijobiy bo'ladi.

Agar u kamaysa, uning hosilasi salbiy hisoblanadi.

Maksimal va minimal nuqtalarda nima bo'ladi? Biz nuqtalarda (maksimal nuqta) va (minimal nuqta) tangens gorizontal ekanligini ko'ramiz. Demak, bu nuqtalardagi tangensning tangensi nolga teng, hosilasi ham nolga teng.

Nuqta - maksimal nuqta. Bu vaqtda funksiyaning ortishi kamayish bilan almashtiriladi. Binobarin, lotin belgisi nuqtada "ortiqcha" dan "minus" ga o'zgaradi.

Nuqtada - minimal nuqta - hosila ham nolga teng, ammo uning belgisi "minus" dan "ortiqcha" ga o'zgaradi.

Xulosa: lotin yordamida biz funktsiyaning harakati haqida bizni qiziqtirgan hamma narsani bilib olamiz.

Agar hosila ijobiy bo'lsa, u holda funktsiya ortadi.

Agar hosila manfiy bo'lsa, u holda funktsiya kamayadi.

Maksimal nuqtada lotin nolga teng va belgini "ortiqcha" dan "minus" ga o'zgartiradi.

Minimal nuqtada hosila ham nolga teng va belgini minusdan ortiqchaga o'zgartiradi.

Keling, ushbu xulosalarni jadval shaklida yozamiz:

	ortadi	maksimal nuqta	kamayadi	minimal nuqta	ortadi
+	0	-	0	+

Keling, ikkita kichik aniqlik kiritaylik. Yechishda sizga ulardan biri kerak bo'ladi Yagona davlat imtihonlari muammolari. Boshqasi - birinchi yilda, funktsiyalar va lotinlarni jiddiyroq o'rganish bilan.

Funktsiyaning qaysidir nuqtada hosilasi nolga teng bo'lishi mumkin, lekin bu nuqtada funktsiyaning na maksimal, na minimal qiymati mavjud. Bu deb ataladigan narsa :

Bir nuqtada grafikning tangensi gorizontal, hosilasi esa nolga teng. Biroq, nuqtadan oldin funktsiya ortdi va nuqtadan keyin u o'sishda davom etmoqda. Hosilning belgisi o'zgarmaydi - u avvalgidek ijobiy bo'lib qoladi.

Bundan tashqari, maksimal yoki minimal nuqtada hosila mavjud emas. Grafikda bu ma'lum bir nuqtada tangensni chizish mumkin bo'lmaganda keskin tanaffusga to'g'ri keladi.

Funktsiya grafik bilan emas, balki formula bilan berilgan bo'lsa, hosila qanday topiladi? Bunday holda, u amal qiladi