Dastlabki ma'lumotlar
Tekislikdagi har qanday tekis geometrik figuraning perimetri uning barcha tomonlari uzunliklarining yig'indisi sifatida aniqlanadi. Uchburchak ham bundan mustasno emas. Birinchidan, biz uchburchak tushunchasini, shuningdek, tomonlarga qarab uchburchak turlarini taqdim etamiz.
Ta'rif 1
Bir-biriga segmentlar orqali bog'langan uchta nuqtadan tashkil topgan geometrik figurani uchburchak deb ataymiz (1-rasm).
Ta'rif 2
1-ta'rif doirasida biz nuqtalarni uchburchakning uchlari deb ataymiz.
Ta'rif 3
1-ta'rif doirasida segmentlar uchburchakning tomonlari deb ataladi.
Shubhasiz, har qanday uchburchakning 3 ta uchi, shuningdek, uchta tomoni bo'ladi.
Tomonlarning bir-biriga munosabatiga ko'ra uchburchaklar masshtabli, teng yonli va teng yonli bo'linadi.
Ta'rif 4
Agar uchburchakning birorta tomoni boshqasiga teng bo'lmasa, biz uni shkala deb ataymiz.
Ta'rif 5
Agar uchburchakning ikkita tomoni bir-biriga teng bo'lsa, lekin uchinchi tomoniga teng bo'lmasa, uni teng yon tomonli deb ataymiz.
Ta'rif 6
Agar uchburchakning barcha tomonlari bir-biriga teng bo'lsa, uni teng tomonli deb ataymiz.
Ushbu uchburchaklarning barcha turlarini 2-rasmda ko'rishingiz mumkin.
Masshtabli uchburchakning perimetrini qanday topish mumkin?
Bizga tomonlari uzunliklari $a$, $b$ va $g$ ga teng boʻlgan miqyosli uchburchak berilsin.
Xulosa: Masshtabli uchburchakning perimetrini topish uchun uning barcha tomonlarini bir-biriga qo'shish kerak.
1-misol
$34$sm, $12$sm va $11$sm ga teng shkalali uchburchakning perimetrini toping.
$P=34+12+11=57$ sm
Javob: $57$ sm.
2-misol
Perimetrni toping to'g'ri uchburchak, oyoqlari $6$ va $8$ sm ga teng.
Birinchidan, Pifagor teoremasidan foydalanib, bu uchburchakning gipotenuslarining uzunligini topamiz. Unda $a$ bilan belgilaymiz
$a=10$ Masshtabli uchburchakning perimetrini hisoblash qoidasiga ko‘ra, biz
$P=10+8+6=24$ sm
Javob: $24$ qarang.
Teng yonli uchburchakning perimetrini qanday topish mumkin?
Bizga teng yonli uchburchak berilsin, tomonlarning uzunliklari $a$ ga, asosining uzunligi esa $b$ ga teng boʻladi.
Samolyot perimetrining ta'rifi bo'yicha geometrik shakl, biz buni tushunamiz
$P=a+a+b=2a+b$
Xulosa: Perimetrni topish uchun teng yonli uchburchak uning asosining uzunligiga uning tomonlarini ikki barobar uzunligini qo'shishingiz kerak.
3-misol
Tomonlari $12$ sm va asosi $11$ sm boʻlsa, teng yonli uchburchakning perimetrini toping.
Yuqorida muhokama qilingan misoldan biz buni ko'ramiz
$P=2\cdot 12+11=35$ sm
Javob: $35$ sm.
4-misol
Teng yonli uchburchakning perimetrini toping, agar uning asosiga chizilgan balandligi $8$ sm, asosi $12$ sm boʻlsa.
Keling, muammo shartlariga ko'ra chizilgan rasmni ko'rib chiqaylik:
Uchburchak teng yonli boʻlgani uchun $BD$ ham mediana hisoblanadi, shuning uchun $AD=6$ sm.
Pifagor teoremasidan foydalanib, $ADB$ uchburchakdan lateral tomonni topamiz. Unda $a$ bilan belgilaymiz
Teng yonli uchburchakning perimetrini hisoblash qoidasiga ko'ra, biz olamiz
$P=2\cdot 10+12=32$ sm
Javob: $32$ qarang.
Teng tomonli uchburchakning perimetri qanday topiladi?
Bizga barcha tomonlari uzunligi $a$ ga teng bo'lgan teng tomonli uchburchak berilsin.
Yassi geometrik figuraning perimetrini aniqlab, biz buni olamiz
$P=a+a+a=3a$
Xulosa: Perimetrni topish uchun teng tomonli uchburchak Siz uchburchak tomonining uzunligini $3 $ ga ko'paytirishingiz kerak.
5-misol
Teng tomonli uchburchakning perimetrini toping, agar uning tomoni $12$ sm.
Yuqorida muhokama qilingan misoldan biz buni ko'ramiz
$P=3\cdot 12=36$ sm
Perimetr - bu figuraning barcha tomonlari yig'indisi. Bu xususiyat, maydon bilan birga, barcha raqamlar uchun teng darajada talabga ega. Teng yonli uchburchakning perimetri formulasi uning xossalaridan mantiqan kelib chiqadi, ammo formula amaliy ko'nikmalarni egallash va mustahkamlash kabi murakkab emas.
Perimetrni hisoblash uchun formula
Teng yonli uchburchakning yon tomonlari bir-biriga teng. Bu ta'rifdan kelib chiqadi va hatto raqam nomidan ham aniq ko'rinadi. Aynan shu xususiyatdan perimetr formulasi kelib chiqadi:
P=2a+b, bu erda b - uchburchakning asosi, a - tomonning qiymati.
Guruch. 1. Teng yon tomonli uchburchak
Formuladan ko'rinib turibdiki, perimetrni topish uchun taglikning o'lchamini va tomonlardan birini bilish kifoya. Teng yonli uchburchakning perimetrini topish uchun bir nechta masalalarni ko'rib chiqing. Biz muammolarni hal qilamiz, chunki ularning murakkabligi ortib boradi, bu bizga perimetrni topish uchun amal qilish kerak bo'lgan fikrlash usulini yaxshiroq tushunishga imkon beradi.
Muammo 1
- Teng yonli uchburchakda asos 6 ga, bu asosga chizilgan balandlik esa 4 ga teng. Shaklning perimetrini topish kerak.
Guruch. 2. 1-topshiriq uchun chizma
Teng yonli uchburchakning asosiga chizilgan balandligi ham median va balandlikdir. Bu xususiyat ko'pincha teng yonli uchburchaklar bilan bog'liq muammolarni hal qilishda qo'llaniladi.
BM balandligi bo'lgan ABC uchburchagi ikkita to'g'ri burchakli uchburchaklarga bo'linadi: ABM va BCM. ABM uchburchagida BM oyog'i ma'lum, AM oyog'i ABC uchburchak asosining yarmiga teng, chunki BM median bissektrisa va balandlikdir. Pifagor teoremasidan foydalanib, AB gipotenuzasining qiymatini topamiz.
$$AV^2=AM^2+BM^2$$
$$AB=\sqrt(AM^2+BM^2)=\sqrt(3^2+4^2)=\sqrt(9+16)=\sqrt(25)=5$$
Perimetrni topamiz: P=AC+AB*2=6+5*2=16
Muammo 2
- Teng yon tomonli uchburchakda poydevorga chizilgan balandlik 10 ga, poydevordagi o'tkir burchak esa 30 ga teng. uchburchakning perimetrini topishingiz kerak.
Guruch. 3. 2-topshiriq uchun chizma
Bu vazifa uchburchakning tomonlari haqida ma'lumot yo'qligi bilan murakkablashadi, lekin balandlik va burchakning qiymatini bilgan holda, ABH to'g'ri burchakli uchburchakda siz AH oyog'ini topishingiz mumkin va keyin yechim muammodagi kabi stsenariy bo'yicha amalga oshiriladi. 1.
Sinus qiymati orqali AH ni topamiz:
$$sin (ABH)=(BH\over AB)=(1\over2)$$ - 30 graduslik sinus jadval qiymati hisoblanadi.
Kerakli tomonni ifodalaymiz:
$$AB=((BH\ortigʻi (1\2dan ortiq))) =BH*2=10*2=20$$
Kotangentdan foydalanib, AH qiymatini topamiz:
$$ctg(BAH)=(AH\BH ustidan)=(1\over\sqrt(3))$$
$$AH=(BH\over\sqrt(3))=10*\sqrt(3)=17.32$$ - olingan qiymatni yuzdan bir qismigacha yaxlitlash.
Keling, asosni topamiz:
AC=AH*2=17,32*2=34,64
Endi barcha kerakli qiymatlar topilgandan so'ng, perimetrni aniqlaymiz:
P=AC+2*AB=34,64+2*20=74,64
Muammo 3
- ABC teng yonli uchburchagining maydoni $16\sqrt(3)$$ va o'tkir burchagi 30 gradus. Uchburchakning perimetrini toping.
Vaziyatdagi qiymatlar ko'pincha ildiz va sonning mahsuloti sifatida beriladi. Bu keyingi yechimni xatolardan iloji boricha himoya qilish uchun amalga oshiriladi. Hisob-kitoblar oxirida natijani yaxlitlash yaxshiroqdir
Muammoning bunday shakllantirilishi bilan hech qanday yechim yo'qdek tuyulishi mumkin, chunki mavjud ma'lumotlardan tomonlardan birini yoki balandlikni ifodalash qiyin. Keling, buni boshqacha hal qilishga harakat qilaylik.
Keling, poydevorning balandligi va yarmini belgilaymiz lotin harflarida: BH=h va AH=a
U holda baza teng bo'ladi: AC=AH+HC=AH*2=2a
Maydoni: $$S=(1\2 dan ortiq)*AC*BH=(1\2dan ortiq)*2a*h=ah$$
Boshqa tomondan, h ning qiymatini ABH uchburchakdan o'tkir burchakning tangensi bilan ifodalash mumkin. Nega tangens? Chunki ABH uchburchagida biz allaqachon ikkita a va h oyoqlarini belgilaganmiz. Biri ikkinchisi orqali ifodalanishi kerak. Ikki oyoq birga tangens va kotangensni bog'laydi. An'anaga ko'ra, kotangent va kosinus faqat tangens yoki sinus mos kelmasa ishlatiladi. Bu qoida emas, siz qanday qilib qulay bo'lsa, qaror qilishingiz mumkin, bu shunchaki qabul qilinadi.
$$tg(BAH)=(h\over(a))=(1\over\sqrt(3))$$
$$h=(a\over\sqrt(3))$$
Olingan qiymatni maydon formulasiga almashtiramiz.
$$S=a*h=a*(a\over\sqrt(3))=((a^2)\over\sqrt(3))$$
Keling, ifoda qilaylik:
$$a=\sqrt(S*\sqrt(3))=\sqrt(16\over\sqrt(3)*\sqrt(3))=\sqrt(16)=4$$
A qiymatini maydon formulasiga almashtiring va balandlik qiymatini aniqlang:
$$S=a*h=(16\over\sqrt(3))$$
$$h=(S\over(a))=((16\over\sqrt(3))\over(4))=(4\over\sqrt(3))=2.31$$- olingan qiymat Yaxlitlashtiramiz yuzdan bir qismigacha.
Pifagor teoremasidan foydalanib, biz uchburchakning yon tomonini topamiz:
$$AB^2=AH^2+BH^2$$
$$AB=\sqrt(AH^2+BH^2)=\sqrt(4^2+2.31^2)=4.62$$
Qiymatlarni perimetr formulasiga almashtiramiz:
P=AB*2+AH*2=4,62*2+4*2=17,24
Biz nimani o'rgandik?
Biz teng yonli uchburchakning perimetrini topishning barcha nozik tomonlarini batafsil tushunib oldik. Biz turli darajadagi murakkablikdagi uchta masalani yechdik, misol bilan teng yonli uchburchakni echish uchun tipik masalalar qanday yechilishini ko'rsatdik.
Mavzu bo'yicha test
Maqola reytingi
O'rtacha reyting: 4.4. Qabul qilingan umumiy baholar: 83.
Har qanday uchburchak uning uch tomonining uzunliklari yig'indisiga teng. Umumiy formula uchburchaklar perimetrini topish uchun:
P = a + b + c
Qayerda P uchburchakning perimetri, a, b Va c- uning tomonlari.
Uni tomonlarning uzunliklarini ketma-ket qo'shish yoki tomonning uzunligini 2 ga ko'paytirish va asosning uzunligini mahsulotga qo'shish orqali topishingiz mumkin. Teng yonli uchburchaklarning perimetrini topishning umumiy formulasi quyidagicha ko'rinadi:
P = 2a + b
Qayerda P teng yonli uchburchakning perimetri, a- har qanday tomon, b- tayanch.
Uni tomonlarning uzunliklarini ketma-ket qo‘shish yoki istalgan tomonining uzunligini 3 ga ko‘paytirish orqali topishingiz mumkin. Teng yonli uchburchaklar perimetrini topishning umumiy formulasi quyidagicha bo‘ladi:
P = 3a
Qayerda P teng yonli uchburchakning perimetri, a- uning har qanday tomoni.
Kvadrat
Uchburchakning maydonini o'lchash uchun uni parallelogramm bilan solishtirish mumkin. Uchburchakni ko'rib chiqing ABC:
Agar siz unga teng bo'lgan uchburchakni olib, uni parallelogrammga ega bo'ladigan qilib qo'ysangiz, berilgan uchburchak bilan bir xil balandlik va asosga ega parallelogramma olasiz:
Bunday holda, uchburchaklarning bir-biriga bog'langan umumiy tomoni hosil bo'lgan parallelogrammning diagonali hisoblanadi. Paralelogrammalarning xossalaridan ma'lumki, diagonal parallelogrammani doimo ikkiga bo'ladi teng uchburchak, ya'ni har bir uchburchakning maydoni parallelogramm maydonining yarmiga teng.
Paralelogrammning maydoni uning asosi va balandligining mahsulotiga teng bo'lganligi sababli, uchburchakning maydoni ushbu mahsulotning yarmiga teng bo'ladi. Shunday qilib, D uchun ABC maydoni teng bo'ladi
Endi to'g'ri uchburchakni ko'rib chiqing:
Ikkita teng toʻgʻri burchakli uchburchakni gipotenuzani bir-biriga qarama-qarshi qoʻyib, toʻrtburchak qilib bukish mumkin. To'rtburchakning maydoni uning mahsulotiga teng bo'lgani uchun qo'shni tomonlar, u holda bu uchburchakning maydoni teng:
Bundan xulosa qilishimiz mumkinki, har qanday to'g'ri burchakli uchburchakning maydoni oyoqlarning 2 ga bo'lingan mahsulotiga teng.
Bu misollardan shunday xulosa qilishimiz mumkin Har qanday uchburchakning maydoni poydevor uzunligi va poydevor balandligining 2 ga bo'lingan qismiga teng.. Uchburchaklar maydonini topishning umumiy formulasi quyidagicha ko'rinadi:
| S = | ah a |
| 2 |
Qayerda S uchburchakning maydoni, a- uning asosi, h a- poydevorga tushirilgan balandlik a.
Uchburchakning perimetri, har qanday shaklda bo'lgani kabi, barcha tomonlarning uzunliklarining yig'indisi deyiladi. Ko'pincha bu qiymat maydonni topishga yordam beradi yoki raqamning boshqa parametrlarini hisoblash uchun ishlatiladi.
Uchburchak perimetri formulasi quyidagicha ko'rinadi:
Uchburchak perimetrini hisoblashga misol. Tomonlari a = 4 sm, b = 6 sm, c = 7 sm bo'lgan uchburchak berilgan bo'lsin, ma'lumotlarni formulaga almashtiring: sm
Perimetrni hisoblash uchun formula teng yonli uchburchak quyidagicha ko'rinadi:
Perimetrni hisoblash uchun formula teng tomonli uchburchak:
Teng tomonli uchburchakning perimetrini hisoblashga misol. Shaklning barcha tomonlari teng bo'lsa, ularni oddiygina uchga ko'paytirish mumkin. Aytaylik, berilgan muntazam uchburchak bu holda 5 sm tomoni bilan: sm
Umuman olganda, barcha tomonlar berilgandan so'ng, perimetrni topish juda oddiy. Boshqa holatlarda siz etishmayotgan tomonning o'lchamini topishingiz kerak. To'g'ri uchburchakda siz uchinchi tomonni topishingiz mumkin Pifagor teoremasi. Masalan, agar oyoqlarning uzunligi ma'lum bo'lsa, unda siz gipotenuzani formuladan foydalanib topishingiz mumkin: 
Keling, to'g'ri burchakli uchburchakda oyoqlarning uzunligini bilish sharti bilan, uning perimetrini hisoblash misolini ko'rib chiqaylik.
A =b =5 sm oyoqli uchburchak berilgan. Perimetrini toping. Birinchidan, etishmayotgan tomonni topamiz c. sm
Endi perimetrni hisoblaymiz: sm
To'g'ri teng yonli uchburchakning perimetri 17 sm bo'ladi.
Agar gipotenuza va bir oyoqning uzunligi ma'lum bo'lsa, siz etishmayotganini formuladan foydalanib topishingiz mumkin: 
Agar to'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuza ma'lum va ulardan biri bo'lsa o'tkir burchaklar, keyin etishmayotgan tomon formula yordamida topiladi.
Dastlabki ma'lumotlar
Tekislikdagi har qanday tekis geometrik figuraning perimetri uning barcha tomonlari uzunliklarining yig'indisi sifatida aniqlanadi. Uchburchak ham bundan mustasno emas. Birinchidan, biz uchburchak tushunchasini, shuningdek, tomonlarga qarab uchburchak turlarini taqdim etamiz.
Ta'rif 1
Bir-biriga segmentlar orqali bog'langan uchta nuqtadan tashkil topgan geometrik figurani uchburchak deb ataymiz (1-rasm).
Ta'rif 2
1-ta'rif doirasida biz nuqtalarni uchburchakning uchlari deb ataymiz.
Ta'rif 3
1-ta'rif doirasida segmentlar uchburchakning tomonlari deb ataladi.
Shubhasiz, har qanday uchburchakning 3 ta uchi, shuningdek, uchta tomoni bo'ladi.
Tomonlarning bir-biriga munosabatiga ko'ra uchburchaklar masshtabli, teng yonli va teng yonli bo'linadi.
Ta'rif 4
Agar uchburchakning birorta tomoni boshqasiga teng bo'lmasa, biz uni shkala deb ataymiz.
Ta'rif 5
Agar uchburchakning ikkita tomoni bir-biriga teng bo'lsa, lekin uchinchi tomoniga teng bo'lmasa, uni teng yon tomonli deb ataymiz.
Ta'rif 6
Agar uchburchakning barcha tomonlari bir-biriga teng bo'lsa, uni teng tomonli deb ataymiz.
Ushbu uchburchaklarning barcha turlarini 2-rasmda ko'rishingiz mumkin.
Masshtabli uchburchakning perimetrini qanday topish mumkin?
Bizga tomonlari uzunliklari $a$, $b$ va $g$ ga teng boʻlgan miqyosli uchburchak berilsin.
Xulosa: Masshtabli uchburchakning perimetrini topish uchun uning barcha tomonlarini bir-biriga qo'shish kerak.
1-misol
$34$sm, $12$sm va $11$sm ga teng shkalali uchburchakning perimetrini toping.
$P=34+12+11=57$ sm
Javob: $57$ sm.
2-misol
Oyoqlari $6$ va $8$ sm boʻlgan toʻgʻri burchakli uchburchakning perimetrini toping.
Birinchidan, Pifagor teoremasidan foydalanib, bu uchburchakning gipotenuslarining uzunligini topamiz. Unda $a$ bilan belgilaymiz
$a=10$ Masshtabli uchburchakning perimetrini hisoblash qoidasiga ko‘ra, biz
$P=10+8+6=24$ sm
Javob: $24$ qarang.
Teng yonli uchburchakning perimetrini qanday topish mumkin?
Bizga teng yonli uchburchak berilsin, tomonlarning uzunliklari $a$ ga, asosining uzunligi esa $b$ ga teng boʻladi.
Yassi geometrik figuraning perimetrini aniqlab, biz buni olamiz
$P=a+a+b=2a+b$
Xulosa: Teng yonli uchburchakning perimetrini topish uchun uning asosining uzunligiga tomonlarini ikki baravar uzunligini qo‘shing.
3-misol
Tomonlari $12$ sm va asosi $11$ sm boʻlsa, teng yonli uchburchakning perimetrini toping.
Yuqorida muhokama qilingan misoldan biz buni ko'ramiz
$P=2\cdot 12+11=35$ sm
Javob: $35$ sm.
4-misol
Teng yonli uchburchakning perimetrini toping, agar uning asosiga chizilgan balandligi $8$ sm, asosi $12$ sm boʻlsa.
Keling, muammo shartlariga ko'ra chizilgan rasmni ko'rib chiqaylik:
Uchburchak teng yonli boʻlgani uchun $BD$ ham mediana hisoblanadi, shuning uchun $AD=6$ sm.
Pifagor teoremasidan foydalanib, $ADB$ uchburchakdan lateral tomonni topamiz. Unda $a$ bilan belgilaymiz
Teng yonli uchburchakning perimetrini hisoblash qoidasiga ko'ra, biz olamiz
$P=2\cdot 10+12=32$ sm
Javob: $32$ qarang.
Teng tomonli uchburchakning perimetri qanday topiladi?
Bizga barcha tomonlari uzunligi $a$ ga teng bo'lgan teng tomonli uchburchak berilsin.
Yassi geometrik figuraning perimetrini aniqlab, biz buni olamiz
$P=a+a+a=3a$
Xulosa: Teng tomonli uchburchakning perimetrini topish uchun uchburchak tomonining uzunligini $3$ ga ko'paytiring.
5-misol
Teng tomonli uchburchakning perimetrini toping, agar uning tomoni $12$ sm.
Yuqorida muhokama qilingan misoldan biz buni ko'ramiz
$P=3\cdot 12=36$ sm
