Davlat byudjeti mutaxassisi ta'lim muassasasi

"Nevinnomyssk energetika kolleji"

Uslubiy ishlanma ochiq dars“Matematika” fanidan

Dars mavzusi :

Kvadratga kamaytiruvchi tenglamalar

tenglamalar.

Matematika o'qituvchisi:

Skrilnikova Valentina Evgenievna

Nevinnomyssk 2016 yil.

Darsning maqsadi: 2-slayd

Tarbiyaviy: talabalarning idrok etish faoliyatini tashkil etishga hissa qo'shish;

yangi bilimlarni tushunish va birlamchi yodlash (yangi o'zgaruvchini kiritish usuli, ta'rifi bikvadrat tenglama) va usullari

harakatlar (yangisini kiritish orqali tenglamalarni echishni o'rgatish

o'zgaruvchan), talabalarga ijtimoiy va shaxsiy tushunishga yordam berish

ahamiyati o'quv materiali;

Tarbiyaviy: talabalarning hisoblash qobiliyatini oshirishga yordam berish;

og'zaki matematik nutqni rivojlantirish; uchun sharoit yaratish

o'z-o'zini nazorat qilish va o'zaro nazorat qilish ko'nikmalarini shakllantirish;

talabalarning algoritmik madaniyati;

Tarbiyaviy: ijobiy munosabatni rag'batlantirish

bir-biriga.

Dars turi: yangi materialni o'rganish.

Usullari: og'zaki, vizual, amaliy, qidiruv

Ish shakllari : individual, juftlik, guruh

Uskunalar: interaktiv doska, taqdimot

Darsning borishi.

I. Tashkiliy moment.

Yo'qolganlarni belgilang, sinfning darsga tayyorligini tekshiring.

O'qituvchi: Bolalar, biz o'qishni boshlaymiz yangi mavzu. Biz hali dars mavzusini yozmayapmiz, uni birozdan keyin o'zingiz tuzasiz. Aytmoqchimanki, biz tenglamalar haqida gaplashamiz.

Slayd raqami 3.

Tenglamalar, teoremalar orqali

U juda ko'p muammolarni hal qildi.

Va u qurg'oqchilikni va kuchli yomg'irni bashorat qildi -

Haqiqatan ham uning bilimi ajoyib.

Goser.

Bolalar, siz o'nlab tenglamalarni hal qildingiz, siz tenglamalar yordamida muammolarni hal qilishingiz mumkin. Tenglamalardan foydalanib, siz tabiatdagi turli hodisalarni, fizikaviy, kimyoviy hodisalarni tasvirlashingiz mumkin, hatto mamlakatdagi aholining o'sishi tenglama bilan tavsiflanadi.Bugun darsda biz yana bir haqiqatni, tenglamalarni yechish usuliga oid haqiqatni bilib olamiz.

II. Bilimlarni yangilash.

Lekin birinchi navbatda eslaylik:

Savollar: 4-slayd

Qanday tenglamalar kvadratik deb ataladi? (Shaklning tenglamasi, bu erdaX – o‘zgaruvchi, - ba’zi raqamlar va a≠0.)

Berilgan tenglamalar orasidan kvadratik tenglamalarni tanlang?

1) 4x – 5 = x + 11

2) x 2 +2x = 3

3) 2x + 6x 2 = 0

4) 2x 3 - X 2 – 4 = 8

5) 4x 2 – 1x + 7 = 0 Javob: (2,3,5)

Qanday tenglamalar to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar deb ataladi?(Koeffitsientlardan kamida bittasi bo'lgan tenglamalarV yokiBilan 0 ga teng.)

Berilgan tenglamalar orasidan toʻliq boʻlmagan kvadrat tenglamalarni tanlang.(3)

Test prognozi

1) 3x-5x 2 +2=0

2) 2x 2 +4x-6=0

3) 8x 2 -16=0

4) x 2 -4x+10=0

5) 4x 2 +2x=0

6) -2x 2 +2=0

7) -7x 2 =0

8) 15-4x 2 +3x=0

1 variant

1) To'liq kvadrat tenglamalar sonini yozing.

2) 8- tenglamadagi a, b, c koeffitsientlarni yozing.

3) Bitta ildizga ega bo'lgan to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamaning sonini yozing.

4) 6-tenglamadagi a, b, c koeffitsientlarni yozing.

5) 4-tenglamada D ni toping va ildizlar soni haqida xulosa chiqaring.

Variant 2

1) Toʻliq boʻlmagan kvadrat tenglamalar sonini yozing.

2) 1-tenglamadagi a, b, c koeffitsientlarni yozing.

3) Bitta ildizi 0 ga ega boʻlgan toʻliq boʻlmagan kvadrat tenglamaning sonini yozing.

4) 3-tenglamadagi a, b, c koeffitsientlarni yozing.

5) 3-tenglamada D ni toping va ildizlar soni haqida xulosa chiqaring.

Talabalar daftarlarini almashtiradilar, o'zaro test sinovlarini o'tkazadilar va baholar qo'yadilar.

1-asr

1,2,4,8

a=-4, b=3, c=15

a=-2, b=0, c=2

24, D<0, корней нет

2c.

3,5,6,7

a=-5, b=3, c=2

a=8, b=0, c=-16

D>0, 2 ta ildiz.

"So'zni top" o'yini.

Va endi siz doskada yozilgan so'zni taxmin qilishingiz kerak. Buning uchun tenglamalarni yechish va ularga to'g'ri javoblarni topish kerak. Har bir javob bir harfga mos keladi va har bir harf karta raqamiga va jadvaldagi ushbu harfga mos keladigan raqamga mos keladi. Doskada 1-jadval toʻliq va 2-jadval koʻrsatilgan, unda misollar yechilganda oʻqituvchi harflar bilan yozadi; O'qituvchi har bir o'quvchiga kvadrat tenglamalar yozilgan kartalarni tarqatadi. Har bir karta raqamlangan. Talaba kvadrat tenglamani yechadi va -21 javobini oladi. Jadvalda u o'z javobini topadi va uning javobiga qaysi harf mos kelishini topadi. Bu A harfi. Keyin u o'qituvchiga qanday harf ekanligini aytadi va karta raqamini beradi. Karta raqami 2-jadvaldagi xatning o'rniga mos keladi. Masalan, javob -21 harf A, karta raqami 5. 5 raqami ostidagi 2-jadvaldagi o'qituvchi A harfini yozadi va hokazo. ifoda to'liq yozilguncha.

X 2 -5x+6=0 (2;3) B

X 2 -2x-15=0(-3;5) VA

X 2 +6x+8=0(-4;-2) K

X 2 -3x-18=0(-3;6) V

X 2- 42x+441=0-21 A

X 2 +8x+7=0(-7;-1) D

X 2 -34x+289=017 R

X 2 -42x+441=0 -21 A

X 2 +4x-5=0(-5;1) T

2x 2 +3x+1=0(-1;-) N

3x 2 -3x+4=0Ildizlari yo'q O

5x 2 -8x+3=0 (;1) E

X 2 -8x+15=0(3;5) U

X 2 -34x+289=017 R

X 2 -42x+441=0-21 A

X 2 -3x-18=0(-3;6) V

2x 2 +3x+1=0(-1;-) N

5x 2 -8x+3=0 (;1) E

2x 2 +3x+1=0(-1;-) N

X 2 -2x-15=0(-3;5) VA

5x 2 -8x+3=0(; 1) E

1-jadval.

(;1)

(-3;5)

(-4;-2)

(-1;-)

ildizlari yo'q

(-5;1)

(3;5)

Uning tegishli harfi

2-jadval

Shunday qilib, biz bugungi dars mavzusini shu tarzda tuzdik.

"Bikvadrat tenglama."

III. Yangi materialni o'rganish

Kvadrat tenglamalarni yechishni allaqachon bilasiz har xil turlari. Bugun darsda biz kvadrat tenglamalarni yechishga olib boruvchi tenglamalarni ko'rib chiqishga o'tamiz. Ana shunday tenglama turlaridan biribikvadrat tenglama.

Def. Tenglamalar ko'rinishibolta 4 +bx 2 +c= 0 , QayerdaA 0, chaqirdibikvadrat tenglama .

BIQUADRATE TENGLAMALAR – danbi - ikkita valotinquadratus - kvadrat, ya'ni. ikki marta kvadrat.

1-misol. Keling, tenglamani yechamiz

Yechim. Bikvadrat tenglamalar yechimi almashtirish yo‘li bilan kvadrat tenglamalarni yechishga keltiriladiy = x 2 .

Topish uchunX almashtirishga qaytish:

x 1 = 1; x 2 = -1 x 3 =; x 4 = - Javob: -1; -1

Ko'rib chiqilgan misoldan ko'rinib turibdiki, to'rtinchi darajali tenglamani kvadratik tenglamaga kamaytirish uchun yana bir o'zgaruvchi kiritilgan -da . Tenglamalarni yechishning bu usuli deyiladiyangi o'zgaruvchilarni kiritish orqali.

Yangi o'zgaruvchini kiritish orqali kvadrat tenglamalarni echishga olib keladigan tenglamalarni echish uchun siz quyidagi algoritmni yaratishingiz mumkin:

1) o'zgaruvchining o'zgarishini kiriting: letX 2 = y

2) Yangi oʻzgaruvchiga ega kvadrat tenglama tuzing:aw 2 + wu + c = 0

3) Yangi kvadrat tenglamani yeching

4) O'zgaruvchini almashtirishga qaytish

5) Olingan kvadrat tenglamalarni yeching

6) Bikvadrat tenglamaning yechimlari soni haqida xulosa chiqaring

7) Javobni yozing

Nafaqat bikvadrat, balki boshqa ayrim turdagi tenglamalarni ham yechish kvadrat tenglamalarni yechishdan kelib chiqadi.

2-misol. Keling, tenglamani yechamiz

Yechim. Keling, yangi o'zgaruvchini kiritamiz

ildizlari yo'q.

ildizlari yo'q

Javob: -

IV. Birlamchi konsolidatsiya

Siz va men yangi o'zgaruvchini qanday kiritishni o'rgandik, siz charchadingiz, shuning uchun biroz dam olaylik.

Fizminutka

1. Ko'zlaringizni yuming. Ko'zlaringizni oching (5 marta).

2. Ko'zlar bilan dumaloq harakatlar. Boshingizni aylantirmang (10 marta).

3. Boshingizni aylantirmasdan, iloji boricha chapga qarang. Miltillamang. To'g'ri oldinga qarang. Bir necha marta miltillang. Ko'zlaringizni yuming va dam oling. Xuddi shu o'ngga (2-3 marta).

4. Oldingizda turgan har qanday ob'ektga qarang va bu narsadan ko'zingizni uzmasdan boshingizni o'ngga va chapga buring (2-3 marta).

5. Derazadan 1 daqiqa masofaga qarab turing.

6. 10-15 soniya davomida miltillash.

Ko'zlaringizni yumib, dam oling.

Shunday qilib, biz ochdik yangi usul tenglamalarni yechish, ammo bu usul yordamida tenglamalarni yechish muvaffaqiyati yangi o‘zgaruvchi bilan tenglama tuzishning to‘g‘riligiga bog‘liq, keling, tenglamalarni yechishning ushbu bosqichini batafsil ko‘rib chiqamiz. Keling, yangi o'zgaruvchini kiritish va yangi tenglama yaratishni o'rganamiz, karta raqami 1

Har bir talaba kartaga ega

KARTA № 1

Yangi o'zgaruvchini kiritish orqali olingan tenglamani yozing

X 4 -13x 2 +36=0

y= bo'lsin,

Keyin

X 4 +3x 2 -28 = 0

y= bo'lsin

Keyin

(3x–5) 2 – 4(3x–5)=12

y= bo'lsin

Keyin

(6x+1) 2 +2(6x+1) –24=0

y= bo'lsin

Keyin

X 4 - 25x 2 + 144 = 0

y= bo'lsin

Keyin

16x 4 - 8x 2 + 1 = 0

y= bo'lsin

Keyin

Bilim testi:

X 4 -13x 2 +36=0

y=x bo‘lsin 2 ,

keyin bor 2 -13u+36=0

X 4 +3x 2 -28 = 0

y=x bo'lsin 2 ,

keyin bor 2 +3u-28=0

(3x–5) 2 – 4(3x–5)=12

y=3x-5,

keyin bor 2 -4u-12=0

(6x+1) 2 +2(6x+1) –24=0

y=6x+1,

keyin bor 2 +2u-24=0

X 4 - 25x 2 + 144 = 0

y=x bo‘lsin 2 ,

keyin bor 2 -25u+144=0

16x 4 - 8x 2 + 1 = 0

y=x bo‘lsin 2 ,

keyin 16u 2 -8u+1=0

Doskada misollar yechish:

1. (t 2 -2 t) 2 -2(t 2 -2 t)-3=0 Javob: -1;1;3.

   (2x 2 +x-1)(2x 2 +x-4)=40 Javob: -3;2

Mustaqil ish:

1-variant 2-variant

1) x 4 -5x 2 -36=0 1) x 4 -6x 2 +8=0

2) (2x 2 +3) 2 -12(2x 2 +3)+11=0 2) (x 2 +3) 2 -11(x 2 +3)+28=0

Javoblar:

1-variant 2-variant

1) -3;3 1) -;-2;2

2) -2;2 2) -1;1;-2;2.

V. Darsning xulosasi

Darsni umumlashtirish va nima ishlagan yoki muvaffaqiyatsiz bo'lganligi haqida xulosa chiqarish uchun sizdan varaqlardagi jumlalarni to'ldirishingizni so'rayman.

- Bu qiziq edi, chunki...

- Men o'zimni maqtashni xohlayman ...

- Darsga baho beraman...

VI. Uy vazifasi :

(2x 2 +x-1)(2x 2 +x-4)+2=0

(X 2 -4x) 2 +9(x 2 -4x)+20=0

(X 2 +x)(x 2 +x-5)=84

OMSK VILOYATI MOSKALENSKY TUMANI TUMANOVSKAYA O'RTA TA'LIM MAKTABI

Dars mavzusi: Kvadratga KISHAYILGAN TENGLAMALAR

Tumanovskaya o'rta maktabining matematika va fizika o'qituvchisi BIRIX TATYANA VIKTOROVNA tomonidan ishlab chiqilgan.

2008 yil

Darsning maqsadi: 1) kvadratiklarga qaytariladigan tenglamalarni yechish yo‘llarini ko‘rib chiqish; bunday tenglamalarni yechish usullarini o‘rgatish. 2) o'quvchilarning nutqi va tafakkurini, diqqatini va mantiqiy tafakkurini rivojlantirish. 3) matematikaga qiziqish uyg'otish;

Dars turi: Yangi materialni o'rganish bo'yicha dars

Dars rejasi: 1. tashkiliy bosqich
2. og‘zaki ish
3. amaliy ish
4. darsni yakunlash

Darsning borishi
Bugun darsda biz “Kvadratga qaytariladigan tenglamalar” mavzusi bilan tanishamiz. Har bir talaba tenglamalarni to‘g‘ri va oqilona yecha olishi, qo‘llashni o‘rganishi kerak turli yo'llar bilan berilgan kvadrat tenglamalarni yechishda.
1. Og'zaki ish 1. -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 raqamlaridan qaysi biri tenglamaning ildizi hisoblanadi: a) x 3 – x = 0; b) y 3 – 9y = 0; c) y 3 + 4y = 0? - Uchinchi darajali tenglama nechta yechimga ega bo'lishi mumkin? - Bu tenglamalarni yechishda qanday usuldan foydalandingiz?2. Tenglamaning yechimini tekshiring: x 3 - 3x 2 + 4x – 12 = 0 x 2 (x - 3) + 4 (x - 3) = 0(x - 3) (x 2 + 4) = 0 (x - 3) (x - 2) (x + 2) = 0 Javob: x = 3, x = -2, x = 2 Talabalar qilgan xatosini tushuntiradilar. Og'zaki ishni umumlashtiraman. Shunday qilib, siz uchta taklif qilingan tenglamani og'zaki hal qila oldingiz va to'rtinchi tenglamani yechishda yo'l qo'yilgan xatoni topdingiz. At og'zaki qaror tenglamalarda quyidagi ikkita usul qo'llanilgan: umumiy omilni qavs belgisidan tashqariga qo'yish va faktoring. Endi yozma ishlarni bajarishda ushbu usullarni qo'llashga harakat qilaylik.
2. Amaliy ish 1. Bitta talaba doskadagi tenglamani yechadi 25x 3 – 50x 2 – x + 2 = 0 Yechishda u ikkinchi qavsdagi belgilarning o'zgarishiga alohida e'tibor beradi. U butun yechimni aytib beradi va tenglamaning ildizlarini topadi.2. Men kuchliroq o'quvchilarga x 3 – x 2 – 4(x - 1) 2 = 0 tenglamasini yechishni taklif qilaman. Yechimni tekshirishda men o'quvchilarning alohida e'tiborini eng muhim nuqtalarga qarataman.3. Doskada ishlash. Tenglamani yeching (x 2 + 2x) 2 – 2(x 2 + 2x) – 3 = 0 Ushbu tenglamani yechishda talabalar "yangi" usuldan - yangi o'zgaruvchini kiritishdan foydalanish kerakligini aniqlaydilar.y = x 2 + 2x o'zgaruvchisi bilan belgilaymiz va uni ushbu tenglamaga almashtiramiz. y 2 – 2y – 3 = 0. y o‘zgaruvchisi uchun kvadrat tenglamani yechamiz. Keyin x o'zgaruvchining qiymatini topamiz.4 . Tenglamani ko'rib chiqing (x 2 – x + 1) (x 2 – x - 7) = 65. Keling, savollarga javob beraylik:- bu tenglama qancha?- uni hal qilish uchun qaysi yechim usulidan foydalanish eng oqilona?- qanday yangi o'zgaruvchini kiritish kerak? (x 2 – x + 1) (x 2 – x - 7) = 65 y = x 2 – x (y + 1) (y – 7) = 65 ni belgilaymiz.Keyin sinf tenglamani mustaqil yechadi. Tenglamaning yechimlarini doskada tekshiramiz.5. Kuchli talabalar uchun men tenglamani echishni taklif qilaman x 6 – 3x 4 – x 2 – 3 = 0 Javob: -1, 1 6. Tenglama (2x 2 + 7x - 8) (2x 2 + 7x - 3) – 6 = 0 sinf quyidagicha yechishni taklif qiladi: eng kuchli o'quvchilar - mustaqil yechishadi; qolganlari uchun doskadagi talabalardan biri qaror qiladi.Yechish: 2x 2 + 7x = y(y - 8) (y - 3) – 6 = 0 Biz topamiz: y1 = 2, y2 = 9 Tenglamamizga almashtiring va x ning qiymatlarini toping, buning uchun biz tenglamalarni echamiz:2x 2 + 7x = 2 2x 2 + 7x = 9Ikki tenglamani echish natijasida biz ushbu tenglamaning ildizi bo'lgan x ning to'rtta qiymatini topamiz.7. Dars oxirida men x 6 - 1 = 0 tenglamasini og'zaki hal qilishni taklif qilaman. Yechishda kvadratlar formulasini qo'llash kerak, biz ildizlarni osongina topishimiz mumkin;(x 3) 2 – 1 = 0 (x 3 - 1) (x 3 + 1) = 0 Javob: -1, 1.
3. Darsni yakunlash Yana bir bor o‘quvchilar e’tiborini kvadrat tenglamalarga keltiriladigan tenglamalarni yechishda qo‘llanilgan usullarga qarataman. O'quvchilarning darsdagi ishlari baholanadi, men baholarni sharhlayman va yo'l qo'yilgan xatolarni ko'rsataman. Biz uy vazifamizni yozamiz. Qoidaga ko'ra, dars tez sur'atda davom etadi va talabalarning ko'rsatkichlari yuqori. Yaxshi ish uchun barchangizga katta rahmat.

Tenglamalarning bir necha sinflari mavjudki, ularni kvadrat tenglamalarga qisqartirish orqali yechish mumkin. Bu tenglamalardan biri bikvadrat tenglamalardir.

Bikvadrat tenglamalar

Bikvadrat tenglamalar shakldagi tenglamalardir a*x^4 + b*x^2 + c = 0, bu erda a 0 ga teng emas.

Bikvadrat tenglamalar x^2 =t almashtirish yordamida yechiladi. Bunday almashtirishdan keyin t uchun kvadrat tenglamani olamiz. a*t^2+b*t+c=0. Olingan tenglamani yechamiz va umumiy holatda bizda t1 va t2 mavjud. Agar bu bosqichda manfiy ildiz olinsa, uni yechimdan chiqarib tashlash mumkin, chunki biz t=x^2 oldik va istalgan sonning kvadrati musbat sondir.

Dastlabki o'zgaruvchilarga qaytsak, bizda x^2 =t1, x^2=t2 mavjud.

x1,2 = ±√(t1), x3,4=±√(t2).

Keling, kichik bir misolni ko'rib chiqaylik:

9*x^4+5*x^2 - 4 = 0.

t=x^2 almashtirishni kiritamiz. Keyin asl tenglama quyidagi shaklni oladi:

9*t^2+5*t-4=0.

Ushbu kvadrat tenglamani ma'lum usullardan birortasi yordamida yechamiz va topamiz:

t1=4/9, t2=-1.

Ildiz -1 mos kelmaydi, chunki x^2 = -1 tenglama mantiqiy emas.

Ikkinchi ildiz 4/9 qoladi. Dastlabki o'zgaruvchilarga o'tsak, biz quyidagi tenglamaga ega bo'lamiz:

x^2 = 4/9.

x1=-2/3, x2=2/3.

Bu tenglamaning yechimi bo'ladi.

Javob: x1=-2/3, x2=2/3.

Kvadrat tenglamalarga keltiriladigan tenglamaning yana bir turi kasrli ratsional tenglamalardir. Ratsional tenglamalar - chap va o'ng tomonlari bo'lgan tenglamalar ratsional ifodalar. Agar ratsional tenglamada chap yoki o'ng tomonlar bo'lsa kasrli ifodalar, unda bunday ratsional tenglama kasr deyiladi.

Kasr ratsional tenglamani yechish sxemasi

Kasrli ratsional tenglamani yechishning umumiy sxemasi.

1. Toping umumiy maxraj tenglamaga kiradigan barcha kasrlar.

2. Tenglamaning ikkala tomonini umumiy maxrajga ko‘paytiring.

3. Olingan butun tenglamani yeching.

4. Ildizlarni tekshiring va umumiy maxrajni yo'qotadiganlarni chiqarib tashlang.

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:

Kasr ratsional tenglamani yeching: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).

Biz yopishib qolamiz umumiy sxema. Avval barcha kasrlarning umumiy maxrajini topamiz.

Biz x*(x-5) olamiz.

Har bir kasrni umumiy maxrajga ko'paytiring va hosil bo'lgan butun tenglamani yozing.

x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

Olingan tenglamani soddalashtiramiz. Biz olamiz,

x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;

x^2+3*x-10=0;

Qabul qilingan oddiy qisqartirilgan kvadrat tenglama. Uni ma'lum bo'lgan har qanday usullar bilan yechamiz, x=-2 va x=5 ildizlarni olamiz. Endi biz olingan echimlarni tekshiramiz. -2 va 5 raqamlarini umumiy maxrajga almashtiring.

x=-2 da umumiy maxraj x*(x-5) yo’qolmaydi, -2*(-2-5)=14. Demak, -2 soni dastlabki kasrli ratsional tenglamaning ildizi bo'ladi.

x=5 da umumiy maxraj x*(x-5) nolga aylanadi. Shuning uchun bu raqam asl kasr ratsional tenglamaning ildizi emas, chunki nolga bo'linish bo'ladi.

Javob: x=-2.

Kvadrat tenglama yoki bitta noma'lum bo'lgan ikkinchi darajali tenglama - bu o'zgarishlardan keyin quyidagi shaklga keltirilishi mumkin bo'lgan tenglama:

bolta 2 + bx + c = 0 - kvadrat tenglama

Qayerda x- bu noma'lum, lekin a, b Va c- tenglamaning koeffitsientlari. Kvadrat tenglamalarda a birinchi koeffitsient deb ataladi ( a ≠ 0), b ikkinchi koeffitsient deb ataladi va c ma'lum yoki bepul a'zo deb ataladi.

Tenglama:

bolta 2 + bx + c = 0

chaqirdi to'liq kvadrat tenglama. Agar koeffitsientlardan biri bo'lsa b yoki c nolga teng yoki bu koeffitsientlarning ikkalasi ham nolga teng bo'lsa, tenglama to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama shaklida taqdim etiladi.

Qisqartirilgan kvadrat tenglama

To'liq kvadrat tenglamani barcha hadlarini bo'lish orqali qulayroq shaklga keltirish mumkin a, ya'ni birinchi koeffitsient uchun:

Tenglama x 2 + px + q= 0 qisqartirilgan kvadrat tenglama deyiladi. Shuning uchun birinchi koeffitsienti 1 ga teng bo'lgan har qanday kvadrat tenglamani qisqartirilgan deb atash mumkin.

Masalan, tenglama:

x 2 + 10x - 5 = 0

kamayadi va tenglama:

3x 2 + 9x - 12 = 0

yuqoridagi tenglama bilan almashtirilishi mumkin, uning barcha shartlarini -3 ga bo'linadi:

x 2 - 3x + 4 = 0

Kvadrat tenglamalarni yechish

Kvadrat tenglamani yechish uchun uni quyidagi shakllardan biriga qisqartirish kerak:

bolta 2 + bx + c = 0

bolta 2 + 2kx + c = 0

x 2 + px + q = 0

Har bir tenglama turi uchun ildizlarni topish uchun o'z formulasi mavjud:

Tenglamaga e'tibor bering:

bolta 2 + 2kx + c = 0

bu aylantirilgan tenglama bolta 2 + bx + c= 0, bunda koeffitsient b- hatto, bu uni 2-toifa bilan almashtirishga imkon beradi k. Shuning uchun, bu tenglamaning ildizlarini topish formulasini unga 2 ni almashtirish orqali soddalashtirish mumkin. k o'rniga b:

1-misol. Tenglamani yeching:

3x 2 + 7x + 2 = 0

Tenglamadagi ikkinchi koeffitsient juft son emasligi va birinchi koeffitsient birga teng bo'lmagani uchun biz ildizlarni birinchi formuladan foydalanib qidiramiz. umumiy formula kvadrat tenglamaning ildizlarini topish. Boshida

a = 3, b = 7, c = 2

Endi tenglamaning ildizlarini topish uchun biz oddiygina koeffitsientlar qiymatlarini formulaga almashtiramiz:

x 1 =	-2	= -	1	, x 2 =	-12	= -2
	6		3		6

Javob: -	1	, -2.
	3

2-misol:

x 2 - 4x - 60 = 0

Keling, koeffitsientlar nima ekanligini aniqlaymiz:

a = 1, b = -4, c = -60

Tenglamadagi ikkinchi koeffitsient juft son bo'lgani uchun biz juft ikkinchi koeffitsientli kvadrat tenglamalar uchun formuladan foydalanamiz:

x 1 = 2 + 8 = 10, x 2 = 2 - 8 = -6

Javob: 10, -6.

3-misol.

y 2 + 11y = y - 25

ga tenglamani kamaytiramiz umumiy ko'rinish:

y 2 + 11y = y - 25

y 2 + 11y - y + 25 = 0

y 2 + 10y + 25 = 0

Keling, koeffitsientlar nima ekanligini aniqlaymiz:

a = 1, p = 10, q = 25

Birinchi koeffitsient 1 ga teng bo'lganligi sababli, biz ikkinchi koeffitsientli yuqoridagi tenglamalar uchun formuladan foydalanib, ildizlarni qidiramiz:

Javob: -5.

4-misol.

x 2 - 7x + 6 = 0

Keling, koeffitsientlar nima ekanligini aniqlaymiz:

a = 1, p = -7, q = 6

Birinchi koeffitsient 1 ga teng bo'lganligi sababli, biz toq ikkinchi koeffitsientli yuqoridagi tenglamalar uchun formuladan foydalanib, ildizlarni qidiramiz:

x 1 = (7 + 5) : 2 = 6, x 2 = (7 - 5) : 2 = 1

№1 dars

Dars turi: yangi materialni o'rganish darsi.

Dars formati: suhbat.

Maqsad: kvadratik tenglamalarni yechish qobiliyatini rivojlantirish.

Vazifalar:

• talabalarni tenglamalarni yechish usullaridan biri bilan tanishtirish;
• bunday tenglamalarni yechish malakalarini shakllantirish;
• fanga qiziqishni shakllantirish va mantiqiy fikrlashni rivojlantirish uchun sharoit yaratish;
• ta'lim jarayoni ishtirokchilari o'rtasidagi shaxsiy va insoniy munosabatlarni ta'minlash.

Dars rejasi:

1. Tashkiliy moment.

3. Yangi materialni o'rganish.
4. Yangi materialni mustahkamlash.
5. Uyga vazifa.
6. Darsning xulosasi.

Darsning borishi

1. Tashkiliy moment

O'qituvchi:"Bolalar, bugun biz muhim va muhim narsalarni o'rganishni boshlaymiz qiziqarli mavzu“Kvadrat tenglamalarga qaytariladigan tenglamalar”. Kvadrat tenglama tushunchasini bilasiz. Keling, ushbu mavzu bo'yicha bilganimizni eslaylik."

Maktab o'quvchilariga ko'rsatmalar beriladi:

• Ushbu mavzu bilan bog'liq ta'riflarni eslang.
• Ma'lum tenglamalarni yechish usullarini eslang.
• Bunga "yaqin" mavzular bo'yicha topshiriqlarni bajarishda qiyinchiliklaringizni eslang.
• Qiyinchiliklarni engish yo'llarini eslang.
• Mumkin bo'lgan tadqiqot vazifalari va ularni bajarish usullari haqida o'ylang.
• Ilgari hal qilingan muammolar qayerda qo'llanilganligini eslang.

O‘quvchilar to‘liq kvadrat tenglamaning shakli, to‘liq bo‘lmagan kvadrat tenglama, to‘liq kvadrat tenglamani yechish shartlari, to‘liq bo‘lmagan kvadrat tenglamalarni yechish usullari, butun tenglama tushunchasi, daraja tushunchasini esga oladilar.

O'qituvchi quyidagi tenglamalarni echishni taklif qiladi (juftlikda ishlash):

a) x 2 – 10x + 21 = 0
b) 3x 2 + 6x + 8 = 0
c) x (x – 1) + x 2 (x – 1) = 0

Talabalardan biri bu tenglamalar yechimini izohlaydi.

3. Yangi materialni o'rganish

O'qituvchi quyidagi tenglamani (muammo muammosini) ko'rib chiqish va echishni taklif qiladi:

(x 2 – 5x + 4) (x 2 – 5x + 6) = 120

Talabalar berilgan tenglamaning kuchi haqida gapiradilar va bu omillarni ko'paytirishni taklif qiladilar. Ammo bu tenglamada bir xil atamalarga e'tibor beradigan talabalar bor. Bu erda qanday yechim usuli qo'llanilishi mumkin?
O'qituvchi talabalarni darslikka (Yu. N. Makarychev "Algebra-9", 11-band, 63-bet) murojaat qilishni va ushbu tenglamaning echimini topishni taklif qiladi. Sinf ikki guruhga bo'lingan. Yechish usulini tushungan talabalar quyidagi vazifalarni bajaradilar:

a) (x 2 + 2x) (x 2 +2x + 2) = –1
b) (x 2 – 7) 2 – 4 (x 2 – 7) – 45 = 0,

qolganlari yechim algoritmi bunday tenglamalar va keyingi tenglamaning yechimini o’qituvchi bilan birgalikda tahlil qiling.

(2x 2 + 3) 2 – 12(2x 2 + 3) + 11 = 0.

Algoritm:

- yangi o'zgaruvchini kiriting;
– ushbu o‘zgaruvchini o‘z ichiga olgan tenglama tuzing;
- tenglamani yechish;
– topilgan ildizlarni almashtirishga almashtiring;
– boshlang‘ich o‘zgaruvchili tenglamani yechish;
– topilgan ildizlarni tekshiring, javobni yozing.

4. Yangi materialni mustahkamlash

Juftlikda ishlash: “kuchli” tushuntiradi, “zaif” takrorlaydi, qaror qiladi.

Tenglamani yeching:

a) 9x 3 – 27x 2 = 0
b) x 4 – 13x 2 + 36 = 0

O'qituvchi:"Kadratik tenglamalarni yechishda yana qayerda foydalanganimizni eslaylik?"

Talabalar:“Tengsizliklarni yechishda; funksiyani aniqlash sohasini topishda; parametrli tenglamalarni yechishda”.
O'qituvchi ixtiyoriy topshiriqlarni taklif qiladi. Sinf 4 ta guruhga bo'lingan. Har bir guruh o‘z vazifasining yechimini tushuntiradi.

a) tenglamani yeching:
b) funksiyaning aniqlanish sohasini toping:
c) Qaysi qiymatlarda A tenglamaning ildizlari yo'q:
d) Tenglamani yeching: x + – 20 = 0.

5. Uyga vazifa

221-son (a, b, c), 222-son (a, b, c).

O'qituvchi xabarlarni tayyorlashni taklif qiladi:

1." Tarixiy ma'lumotlar ushbu tenglamalarni yaratish bo'yicha" (Internet materiallari asosida).
2. Kvant jurnali sahifalarida tenglamalarni yechish usullari.

Kvestlar ijodiy tabiat Alohida daftarlarda xohlagancha bajaring:

a) x 6 + 2x 4 – 3x 2 = 0
b) (x 2 + x) / (x 2 + x – 2) – (x 2 + x – 5) / (x 2 + x – 4) = 1

6. Darsning xulosasi

Yigitlar bizga darsda nimani yangi o'rganganliklari, qanday topshiriqlar qiyinchiliklarga olib kelganligi, ularni qayerda qo'llaganliklari va ularning faoliyatini qanday baholashlari haqida gapirib berishadi.

№2 dars

Dars turi: malaka va ko'nikmalarni mustahkamlash bo'yicha dars.

Dars formati: dars ustaxonasi.

Maqsad: olingan bilimlarni mustahkamlash, ushbu mavzu bo'yicha tenglamalarni yechish qobiliyatini rivojlantirish.

Vazifalar:

• kvadratik tenglamalarni yechish qobiliyatini rivojlantirish;
• mustaqil fikrlash qobiliyatlarini rivojlantirish;
• tahlil qilish va etishmayotgan ma'lumotlarni qidirish qobiliyatini rivojlantirish;
• faollikni, mustaqillikni, intizomni tarbiyalash.

Dars rejasi:

1. Tashkiliy moment.
2. Talabalarning subyektiv tajribasini yangilash.
3. Muammoni hal qilish.
4. Mustaqil ish.
5. Uyga vazifa.
6. Darsning xulosasi.

Darsning borishi

1. Tashkiliy moment

O'qituvchi:“Oxirgi darsda biz kvadrat tenglamaga keltiriladigan tenglamalar bilan tanishdik. Qaysi matematik uchinchi va to‘rtinchi darajali tenglamalarni yechishda hissa qo‘shgan?”

Xabarni tayyorlagan talaba 16-asr italyan matematiklari haqida gapiradi.

2. Subyektiv tajribani aktuallashtirish

1) Uy vazifasini tekshirish

Talaba doskaga chaqiriladi va uy tenglamalariga o'xshash tenglamalarni yechadi:

a) (x 2 – 10) 2 – 3 (x 2 – 10) – 4 = 0
b) x 4 – 10 x 2 + 9 = 0

Bu vaqtda bilimlardagi bo'shliqlarni bartaraf etish uchun "zaif" talabalar kartalarni olishadi. “Zaif” o‘quvchi “kuchli” o‘quvchiga yechimni izohlaydi, “kuchli” o‘quvchi yechimni “+” yoki “–” belgilari bilan belgilaydi.

2) Nazariy materialni takrorlash

Talabalardan quyidagi jadvalni to'ldirishlari so'raladi:

Talabalar dars oxirida uchinchi ustunni to'ldiradilar.
Doskada bajarilgan vazifa tekshiriladi. Doskada namunali yechim qoladi.

3. Muammoni hal qilish

O'qituvchi ikkita tenglama guruhini tanlashni taklif qiladi. Sinf ikki guruhga bo'lingan. Biri modelga muvofiq topshiriqlarni bajaradi, ikkinchisi tenglamalarni yechishning yangi usullarini izlaydi. Agar qarorlar qiyinchilik tug'dirsa, talabalar modelga - fikrlashga murojaat qilishlari mumkin.

a) (2x 2 + 3) 2 – 12 (2x 2 + 3) + 11 = 0 a) (5x – 63) (5 x – 18) = 550
b) x 4 – 4x 2 + 4 = 0 b) 2x 3 – 7 x 2 + 9 = 0

Birinchi guruh o’z yechimini sharhlaydi, ikkinchi guruh konoproyektor orqali yechimni tekshiradi va o’zining yechim usullarini sharhlaydi.

O'qituvchi: Bolalar, keling, bitta qiziqarli tenglamani ko'rib chiqaylik: (x 2 – 6 x – 9) 2 = x (x 2 – 4 x – 9).

- Uni hal qilishning qanday usulini taklif qilasiz?

Talabalar muammoli muammoni guruhlarda muhokama qilishni boshlaydilar. Ular qavslarni ochishni, o‘xshash hadlarni keltirishni, to‘rtinchi darajali butun algebraik tenglamani olishni va erkin atamaning bo‘luvchilari orasidan butun ildizlarni, agar mavjud bo‘lsa, topishni taklif qiladilar; keyin faktorlarga ajrating va bu tenglamaning ildizlarini toping.
O'qituvchi yechim algoritmini tasdiqlaydi va boshqa yechim usulini ko'rib chiqishni taklif qiladi.

X 2 – 4x – 9 = t, keyin x 2 – 6x – 9 = t – 2x ni belgilaymiz. t 2 – 5tx + 4x 2 = 0 tenglamasini olamiz va uni t uchun yechamiz.

Dastlabki tenglama ikkita tenglama to'plamiga bo'linadi:

x 2 – 4 x – 9 = 4x x = – 1
x 2 – 4 x – 9 = x x = 9
x = (5 + 61)/2 x = (5 – 61)/2

4. Mustaqil ish

Talabalarga tanlash uchun quyidagi tenglamalar taklif etiladi:

a) x 4 – 6 x 2 + 5 = 0 a) (1 – y 2) + 7 (1 – y 2) + 12 = 0
b) (x 2 + x) 2 – 8 (x 2 + x) + 12 = 0 b) x 4 + 4 x 2 – 18 x 2 – 12 x + 9 = 0
c) x 6 + 27 x 4 – 28 = 0

O'qituvchi har bir guruhning tenglamalariga izoh berib, tenglama ekanligiga e'tiborni qaratadi c) bandi ostida o‘quvchilarning bilim va ko‘nikmalarini chuqurlashtirish imkonini beradi.
Mustaqil ish uglerod qog'ozi yordamida qog'ozda bajariladi.
Talabalar daftarlarni almashtirgandan so'ng, proyektor orqali yechimlarni tekshiradilar.

5. Uyga vazifa

223-son (g, e, f), 224-son (a, b) yoki 225-son, 226-son.

Ijodiy vazifa.

Tenglamaning darajasini aniqlang va ushbu tenglama uchun Vieta formulasini oling:

6. Darsning xulosasi

Talabalar jadvalning "Men o'rgandim" ustunini to'ldirishga qaytadilar.

№3 dars

Dars turi: bilimlarni takrorlash va tizimlashtirish darsi.

Dars formati: dars musobaqadir.

Darsning maqsadi: bilim va ko'nikmalaringizni to'g'ri baholashni, o'z imkoniyatlaringizni taklif qilingan vazifalar bilan to'g'ri bog'lashni o'rganing.

Vazifalar:

• bilimlaringizni har tomonlama qo'llashni o'rgatish;
• ko'nikma va qobiliyatlarning chuqurligi va mustahkamligini aniqlash;
• mehnatni oqilona tashkil etishga ko'maklashish;
• faollik va mustaqillikni rivojlantirish.

Dars rejasi:

1. Tashkiliy moment.
2. Talabalarning subyektiv tajribasini yangilash.
3. Muammoni hal qilish.
4. Mustaqil ish.
5. Uyga vazifa.
6. Darsning xulosasi.

Darsning borishi

1. Tashkiliy moment

O'qituvchi:“Bugun biz g'ayrioddiy dars, musobaqa darsini o'tkazamiz. Siz italiyalik matematiklar Fiori, N.Tartalya, L.Ferrari, D.Kardano bilan oxirgi darsdan allaqachon tanishsiz.

1535 yil 12 fevralda Fiori va N. Tartalya o'rtasida ilmiy duel bo'lib o'tdi va unda Tartalya yorqin g'alabaga erishdi. Ikki soat ichida u Fiori taklif qilgan barcha o'ttizta masalani hal qildi, Fiori esa Tartalyaning bitta muammosini hal qilmadi.
Bir darsda nechta tenglamani yecha olasiz? Qanday usullarni tanlash kerak? Italiyalik matematiklar sizga o'zlarining tenglamalarini taklif qilishadi.

2. Subyektiv tajribani aktuallashtirish

Og'zaki ish

1) Raqamlardan qaysi biri: – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3 tenglamaning ildizi hisoblanadi:

a) x 3 – x = 0 b) y 3 – 9 y = 0 c) y 3 + 4 y = 0?

– Uchinchi darajali tenglamaning nechta yechimi bo‘lishi mumkin?
– Ushbu tenglamalarni yechish uchun qanday usuldan foydalanasiz?

2) Tenglamaning yechimini tekshiring. Siz qilgan xatoni toping.

x 3 – 3x 2 + 4x – 12 = 0
x 2 (x – 3) + 4 (x – 3) = 0
(x – 3)(x 2 + 4) = 0
(x – 3)(x + 2)(x – 2) = 0
x = 3, x = – 2, x = 2.

Juftlikda ishlash. Talabalar tenglamalarni yechish usullari va yo‘l qo‘ygan xatosini tushuntiradilar.

O'qituvchi:“Sizlar zo'rsizlar! Siz italiyalik matematiklarning birinchi topshirig‘ini bajardingiz”.

3. Muammoni hal qilish

Doskada ikkita talaba:

a) funksiya grafigining koordinata o‘qlari bilan kesishgan nuqtalarining koordinatalarini toping:

b) tenglamani yeching:

Sinfdagi talabalar bir yoki ikkita vazifani bajarishni tanlashadi. Kengashdagi talabalar o'z harakatlariga doimiy ravishda izoh berishadi.

4. “Uch-to-uch” mustaqil ish

Kartochkalar to'plami qiyinchilik darajasi va javob variantlari bilan tuzilgan.

1) x 4 – x 2 – 12 = 0
2) 16 x 3 – 32 x 2 – x + 2 = 0
3) (x 2 + 2 x) 2 – 7 (x 2 + 2 x) – 8 = 0
4) (x 2 + 3 x + 1) (x 2 + 3 x + 3) = – 1
5) x 4 + x 3 – 4 x 2 + x + 1 = 0

Mumkin javoblar:

1) a) – 2;
2 b) – 3; 3 c) yechim yo'q
2) a) – 1/4;
1/4 b) – 1/4; 1/4; 2 c) 1/4; 2
3) a) – 4; 1;

5. Uyga vazifa

2 b) –1; 1; – 4; 2 c) – 4; 2

4) a) – 2; – 1; b) – 2; – 1; 1 c) 1; 2

5) a) – 1; (– 3 + 5) /2 b) 1; (– 3 – 5) /2 c) 1; (– 3 – 5)/2; (–3 + 5) /2.
Algebra fanidan yozma imtihon uchun topshiriqlar to'plami: 72-son, 73-son yoki 76-son, 78-son.
Qo'shimcha vazifa.