Ребенок с ранних лет сталкивается с необходимостью ориентироваться в пространстве. При помощи взрослых он усваивает самые простейшие представления об этом: слева, справа, вверху, внизу, в центре, над, под, между, по часовой стрелке, против часовой стрелки, в том же направлении, в противоположном направлении и др.

Все эти понятия способствуют развитию пространственного воображения у детей. Умение ребенка представить, спрогнозировать, что произойдет в ближайшем будущем в пространстве, закладывает у него основы анализа и синтеза, логики и мышления.

Дошкольникам дается необходимая первичная информация, а затем ставится задача: «Что произойдет, если...». Формулируются условия, при которых должно произойти действие. Ребенок должен осмыслить полученные данные, понять поставленную задачу и принять верное решение в виде устного или письменного ответа.

Представленный набор практических заданий позволит дошкольнику постепенно, «от простого к сложному», развивать свое пространственное воображение. Занятие проводится в группе со старшими дошкольниками.

Упражнения на пространственную ориентацию

Педагог выставляет перед детьми и задает вопрос: «В каком углу квадрата нарисован цветок?» (В верхнем левом.)
«Я повернул квадрат один раз по часовой стрелке». (Педагог показывает.) «В каком углу оказался цветок?» (В верхнем правом.)
«А теперь я повернул квадрат два раза против часовой стрелки». (Поворачивает.) «Где сейчас цветок?» (В нижнем левом.)
«Я поворачиваю квадрат три раза по часовой стрелке». (Показывает.) «В каком углу цветок?» (В нижнем правом.)

Далее дети выполняют задания индивидуально на листах бумаги, на которых нарисованы 4 квадрата.
Педагог формулирует задание: «В первом квадрате нарисуйте грибок в нижнем левом углу. Представьте, что квадрат повернули один раз против часовой стрелки. Где окажется гриб? Нарисуйте его во втором квадрате. Второй квадрат повернули два раза по часовой стрелке. Нарисуйте в третьем квадрате, где теперь он находится.
Третий квадрат повернули 3 раза против часовой стрелки. В четвертом квадрате нарисуйте, где оказался гриб».

Следующее задание педагог проводит коллективно со всей группой. Учитель выставляет плакат и задает вопросы: «В каком углу большого квадрата находится синий квадратик? зеленый квадратик? желтый? красный?».

После этого дети выполняют индивидуально задание на листочках бумаги, на которых изображены 4 больших квадрата. Большие квадраты разделены на маленькие. Первый квадрат раскрашен.

«Представьте, что первый квадрат повернули 3 раза по часовой стрелке. Где окажутся маленькие квадраты? Во втором квадрате правильно раскрасьте маленькие квадратики. Если второй квадрат повернуть против часовой стрелки 2 раза? В третьем квадрате раскрасьте квадратики. А теперь третий квадрат повернули 4 раза по часовой стрелке. Где теперь окажется каждый квадратик? Раскрасьте их в четвертом квадрате».

Аналогично проводятся следующие задания:

После этого дошкольники выполняют индивидуально задания на листах бумаги:

4. Аналогично проводится задание по перемещению окон влево и вправо.

5. Пирамиду собрали разными способами. Раскрасьте все детали собранных пирамидок.

Посмотрите внимательно на картинку. Сколько кружков раскрашено? Какого цвета раскрашенный цветок?

Где окажется красный кружок, если его передвинуть на 3 кружка вправо и на 1 кружок вверх? Раскрасьте его.

Где окажется красный кружок, если он передвинется на 1 кружок вправо, на 1 кружок вверх, на 3 кружка вправо и на 1 кружок вниз? Раскрасьте его. 14. Раскрасьте квадрат А1 - в красный цвет, А2 - в синий, Б2 - в желтый, Б3 - в зеленый, В1 - в коричневый, В2 - в фиолетовый цвет. 15. В квадрате А2 поставьте точку, в А3 - крестик. В квадрате Б1 нарисуйте кружок, в Б4 - треугольник, в Б5 - овал. В квадрате В2 нарисуйте маленький квадрат, в В3 - прямоугольник, в В5 - многоугольник. Квадрат Г1 раскрасьте в синий цвет, Г3 - в зеленый, Г5 - в красный цвет. В квадрате Д2 нарисуйте букву А, в Д3 - букву Б, в Д4 - букву В. Назовите квадраты, которые оказались пустыми.

ГЛАВА 1.ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРОЦЕССА ФОРМИРОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ВООБРАЖЕНИЯ ШКОЛЬНИКОВ ПРИ ИЗУЧЕНИИ СТЕРЕОМЕТРИИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

1.1 Анализ литературы по проблеме исследования

Как процесс репродуктивный, процесс, в результате которого не возникает ничего принципиально нового, а происходит лишь перекомбинация исходных элементов, рассматривали мышление ассоцианисты (А. Бен, Д. Гартли). В настоящее время этот подход нашел свое выражение в бихевиоризме (А. Вейс, Б. Скиннер).

В трудах советских психологов продуктивность выступает как наиболее характерная, специфическая черта мышления, отличающая его от других психических процессов, и в то же время рассматривается противоречивая связь её с репродукцией.

Среди работ, посвященных вопросам развития пространственного мышления при обучении математике, следует отметить работы В. А. Крутецкого, Д. Пойа, Л. М. Фридмана, Е. Н. Турецкого Б. Г. Ананьева, П. Я. Гальперина, А. В. Запорожеца, А. Н. Леонтьева, Н. А. Менчинской и многих других. Большое внимание проблеме развития пространственного мышления учащихся при обучении математике и другим предметам уделялось в исследованиях по методике математики 1950-70-х годов (Н.Ф.Четверухин, А.И. Фетисов, Г.Г. Маслова, А.М. Лоповок, X.Б. Абугова, Р.С. Черкасов и др.). Каждый из исследователей предлагал свой, новый, взгляд на рассматриваемую проблему, тем самым, расширяя и углубляя её. Результаты исследований были внедрены в педагогическую практику и успешно использовались учителями. Однако усиление логической составляющей курса геометрии, стремление построить курс на строго дедуктивной основе привело к тому, что проблема развития пространственного мышления отошла на дальний план, что отрицательно сказалось на результатах обучения геометрии и, в первую очередь, стереометрии.

Различные аспекты компьютеризации в сфере образования изучены в работах И.Н. Антипова, Г.А. Борцовского, Я.А. Ваграменко, Д.Х. Джонассена, А.П. Ершова, И.Г. Захаровой, М.П. Лапчика, Е.И. Машбица, Н.Ю. Талызиной и других. Проблема применения информационных технологий в преподавании геометрии в средней и высшей школах посвящены публикации Ю.С. Брановского, В.А. Далингера, Ю.А. Дробышева, А.И. Азевича, Т.А. Матвеевой, И.В. Роберт, М.А. Никифоровой и других. Основное внимание в этих исследованиях уделяется не только вопросам создания программно – педагогических средств, условиям их применения, но и разработке соответствующих компьютерно – ориентированных методик изучения отдельных тем, разделов школьного курса геометрии. В силу ряда обстоятельств особое значение информационные технологии приобретают в процессе развития пространственных представлений школьников. Существует два основных мотива их использования. Первый связан с широким применением информационных методов в геометрической науке; второй – с повышением качества усвоения учебного материала.

Проблеме использования компьютерных математических систем в процессе обучения математике учащихся и студентов в средней и высших школах посвящены публикации И.Н Антипова, Е.В. Ашкинузе, Г.А Бордовского, Ю.С. Брановского, Б.Б. Беседина, Г.Д. Глейзер, Ю.Г. Гу-зуна, В. А. Далингера, Ю.А. Дробышева, И. В. Дробыше-вой, А.П. Ершова, С.А. Жданова, В.А. Извозчикова, А.А Кузнецова, Э.И. Кузнецова, М.П Лапчик, В.М. Монахова, М.Н. Марюкова, И.В. Роберт, А.В. Якубова и других.

Анализируя отечественный и зарубежный опыт использования информационных технологий в качестве средства обучения и формирования пространственных представлений школьников при изучении геометрии, можно сделать вывод о том, что по этой проблеме накоплен определенный опыт; получены глубокие результаты, имеющие теоретическое и практическое значение. Исследование проблем компьютерной поддержки преподавания математических дисциплин в средней и высшей школах в последнее время ведется особенно интенсивно. Исследования ведутся в различных направлениях. Им посвящены публикации Е.В. Ашкинузе, Б.Б. Беседина, Ю.С. Брановского, Ю.Г. Гузуна, В.А. Далингера, Ю.А. Дробышева, И.В. Дробышевой, В.Л. Матросов, М.Н. Марюкова, И.В. Роберт, А.В. Якубова и других. Основное внимание в этих исследованиях уделяется не только вопросам создания программно-педагогических средств учебного назначения с методикой их применения, но и разработке соответствующих компьютерно - ориентированных методик изучения отдельных тем и разделов школьного и вузовского курсов математики. Анализ этих исследований позволяет сделать вывод о том, что использование информационных технологий в математических курсах имеет большие возможности. Многое, что сделано в этой области, заслуживает внимания, преобладает много положительного.

1.2 Психологические закономерности развития пространственного воображения

Пространственное воображение - вид умственной деятельности, обеспечивающей создание пространственных образов и оперирование ими в процессе решения различных практических и теоретических задач. Пространственное воображение есть такое психологическое образование, которое формируется в различных видах деятельности (практической и теоретической). Для его развития большое значение имеют продуктивные формы деятельности: конструирование, изобразительное (графическое). В ходе овладения ими, целенаправленно формируются умения представлять в пространстве результаты своих действий и воплощать их в рисунке, чертеже, постройке, поделке. Мысленно видоизменять их и создавать на этой основе новые, в соответствии с созданным образом, планировать результаты своего труда, а также основные этапы его осуществления, учитывая не только временную, но и пространственную последовательность их выполнения .

Пространственное воображение в своей развитой форме оперирует образами, содержанием которых является воспроизведение и преобразование пространственных свойств и отношений объектов: их формы, величины, взаимного положения частей. Оперирование пространственными образами в видимом или воображаемом пространстве, является содержанием пространственного воображения. Выделение пространственных зависимостей из объекта восприятия часто затруднено ввиду сложности его конструкции. Многие особенности (например, внутреннее строение) скрыты от непосредственного наблюдения. Поэтому выделять пространственные зависимости, присущие объекту, нередко приходится опосредствованно, через сравнение, сопоставление различных частей и элементов конструкции. Общее, что характеризует любой пространственный образ - это отражение в нём объективных законов пространства. Пространственные свойства и отношения неотделимы от конкретных вещей и предметов - их носителей, но наиболее отчётливо они выступают в геометрических объектах (объёмных телах, плоскостных моделях, чертежах, схемах и т.п.), которые являются своеобразными абстракциями от реальных предметов. Не случайно, поэтому геометрические объекты (их различные сочетания) служат тем основным материалом, на котором создаются пространственные образы и происходит оперирование ими .

В современной психологии понятие пространственных представлений связывается с понятием образа объекта или явления, который возникает в результате восприятия. При этом большое внимание уделяется зрительным образам, так как их информационная ёмкость особенно велика. Они позволяют мгновенно схватывать отношения между реальной и представляемой ситуацией. Пространственные представления являются целостными субъективными образами пространственных объектов или явлений, которые отражены и закреплены в памяти на основе восприятия наглядного материала в процессе деятельности. Тогда формирование и развитие пространственных представлений можно рассматривать как процесс создания образов и оперирование ими.

Такой взгляд на пространственные представления был взят за основу многими учёными-методистами при разработке методики формирования и развития пространственных представлений учащихся. Под пространственными представлениями они чаще всего понимают образ той или иной пространственной (геометрической) фигуры, отношения между ее элементами. Процесс формирования и развития пространственных представлений характеризуется умением мысленно конструировать пространственные образы или схематические конфигурации и изучаемых объектов и выполнять над ними мыслительные операции, соответствующие тем, которые должны быть выполнены над самими объектами.

Познавательная природа представлений раскрывается в том, что они являются промежуточным звеном при переходе от ощущения к мысли. Ясные и отчётливые представления о геометрических объектах, последовательно образованные в сознании обучаемых, являются прочной основой для усвоения научных знаний. Представление, как важный элемент познания, призвано связывать образы предметов и явлений со смыслом и содержанием понятия о них. Но, в свою очередь, формирование представлений требует овладения понятием, поскольку понятие определяет содержание образа. Пространственные представления по отношению к мышлению являются исходной базой, условием развития, но, в то же время, и формирование представлений требует предварительного овладения понятиями и фактами. Можно сказать, что процесс формирования пространственных представлений о геометрических объектах проходит на основе знаний о них .

На основе вышесказанного можно сделать вывод, что содержание пространственных представлений следует рассматривать как образ отраженного объекта или явления, в совокупности со знаниями об объекте, извлеченные в процессе его восприятия. Это результат пространственного воображения, которое сочетает в себе взаимосвязанные компоненты (пространственный и логический) мышления.

Итак, под пространственным представлением, формируемым в процессе обучения геометрии, будем понимать обобщенный образ геометрического объекта, складывающийся в результате переработки (анализа) информации о нем, поступающей через органы чувств.

Научное наследие выдающегося швейцарского ученого Ж. Пиаже уже не одно десятилетие вызывает интерес психологов всего мира. Его исследования, "посвященные развитию детского познания - восприятия и особенно мышления, - составляют, - по утверждению П.Я. Гальперина и Д.Б. Эльконина, - одно из самых значительных, если не самое значительное явление современной зарубежной психологии" .

Признавая используемый Ж. Пиаже формально-логический подход в качестве возможного описания закономерностей развития мышления ребенка, многие отечественные и зарубежные ученые все же отмечают его ограниченность и пытаются рассмотреть ментальную деятельность как некую новую психическую реальность, образующуюся на определенных этапах развития (П.Я. Гальперин, В.В. Давыдов, Л.Ф. Обухова, Д.Б. Эльконин, М. Доналдсон, Р.В. Конелэнд). В частности, пытаясь объяснить психические механизмы, лежащие в основе знаменитых феноменов Ж. Пиаже, П.Я. Гальперин и Д.Б. Эльконин высказали гипотезу о том, что их причина лежит в отсутствии четкой последовательной дифференциации некоторых объективных характеристик предметов, таких как длина, форма, вес и т.д.

Следующий продуктивный шаг в этом направлении был сделан Н.И. Чуприковой . Ей удалось связать указанную гипотезу П.Я. Гальперина и Д.Б. Эльконина с исследованиями, утверждавшими, что, во-первых, дифференциация познавательных структур и процессов составляет релевантный компонент интеллектуального развития (Х. Вернер, Х.А. Уиткин) и, во-вторых, что способность ребенка дифференцировать различные признаки и отношения предметов есть стержневая линия при переходе от непосредственного чувственного познания к абстрактному мышлению (Г. Гегель, И.М. Сеченов, Дж. Миллер, Н.И. Чуприкова). Опираясь на эти и ряд других результатов теоретических и экспериментальных работ, Н.И. Чуприкова поставила задачу обосновать связь феноменов несохранения Ж. Пиаже с недостаточной дифференцированностью отражения различных свойств объектов. В процессе ее решения автором была выдвинута и подтверждена гипотеза, согласно которой за весьма разными, на первый взгляд, приемами формирования у детей, обладающих соответствующими возможностями, способности решать задачи на сохранение всегда лежит процесс выработки дифференцированного отражения различных свойств объектов .

Согласно фактам, описанных Ж. Пиаже , С.Л. Рубинштейном , Н.Н. Поддьяковым , Ф.Н. Шемякиным , серии экспериментов, проведенных И.С. Якиманской и под ее руководством ребенок выделяет в окружающих его предметах пространственные характеристики дифференцированно. отношении символы. 3. Способность применить навыки, приобретённые при ... , способствуют формированию пространственного воображения . Кроме того...

Народный театр как средство воспитания школьников

Реферат >> Педагогика

Фольклорному театру как средству формирования личности, и... занимаются развитием воображения и... временными и пространственными отрезками, ... с развитием информационных технологий у различных... при использовании народных элементов в работе с современными школьниками ...

Информационная эпоха: экономика, общество и культура

Книга >> Социология

Годов при использовании новых информационных технологий . ... Интернета, в воображении людей, ... вначале ход формирования средств массовой информации... Даже школьники знают... пространственного рассеяния и концентрации через посредство информационных технологий . Как ...

Теория и технологии обучения. Сборник текстов

Книга >> Педагогика

Временным и пространственным . Организационная форма... школьников радости познания как средства формирования ... школьников . При ... воображения , личности) младших школьников ... технологий требует поиска адекватных им телекоммуникационных средств и информационных технологий ...

Как развивать пространственное воображение обучающихся
Попова О.Н.

учитель математики МОУ гимназии №1 г. Липецка

Не секрет, что многие учащиеся не обладают достаточно развитым пространственным во­ображением. Проблема старая, но актуальная. Если учитель не решает ее еще тогда, когда ведет младшие и средние классы, то через несколько лет его уроки стереометрии с теми же учениками будут терять большую часть своей эффективности.

Все психические процессы , в том числе и пространственное воображение, совершенст­вуются в результате деятельности. Эта деятель­ность должна чем-то стимулироваться и на­правляться, т. е. необходима система упражнений.

В этой статье предлагаются нестандартные и занимательные задачи для развития пространственного воображения. В квадратных скобках даны ответы, краткие решения, указания.

Для решения многих из этих задач не надо специальных знаний , т. е. их можно предлагать уже в V классе, а неко­торые - и в начальной школе. Решение наибо­лее сложных задач можно поощрять отметкой.

Первую серию задач можно назвать «выход в пространство».

Это устные за­дачи, в которых, казалось бы, ничего не сказано о пространстве. Даже наоборот , упоминание о треугольниках в задаче 2 и о расположении монет в задаче 3 (учащиеся сразу думают, что монеты должны лежать на плоскости) навязы­вает «плоскостные» образы. Нужно преодолеть это, «вывести» мысль «в пространство», чтобы правильно выполнить предложенные за­дания.

1. Разделите круглый сыр тремя разрезами на 8 частей. [Ответ на рис.1].

2. Из шести спичек сложите четыре правильных треугольника так, чтобы стороной каждого была целая спичка. [Треугольная пирамида с ребром , равным спичке].

3. Расположите 5 одинаковых монет так, чтобы каждая из них касалась четырех осталь­ных. [Ответ на рис. 2].

4. Можно ли расположить 6 одинаковых карандашей так, чтобы каждый касался пяти остальных? [Можно, ответ на рис. 3].

5. Вырезать из целого листа бумаги такую же фигуру, как на рис. 4а. [Прямоугольный лист разрезать по отрезкам а, b , с (рис. 4б), заштрихованную часть повернуть около прямой l на 180°].

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3


Рис. 4

Часто советуют сопровождать изучение аксиом стереометрии и их следствий изображениями многогранников, решением за­дач на построение сечений и т. д. Но ученики должны «видеть» этот многогранник. Поэтому еще до изучения стереометрии надо предлагать учащимся задачи с кубом, параллелепипедом и некоторы­ми другими фигурами. Эта серия заданий связана с иллюзиями и невозможными объектами.

На рис. 5 любой математик видит куб , а не только два квадрата, вершины которых попарно соединены. А нарисованы все-таки квадраты...

Рис. 5 Рис. 6

Видеть куб нам позволяет хорошо развитое пространственное воображение. Но удивитель­но: один раз мы видим этот куб как бы сверху и справа (рис. 6а), а другой - снизу и слева (рис. 6б). Это уже казусы иллюзии, которыми надо уметь управлять, подчиняя свое воображение той реальности , о которой говорится в конкретной задаче. Но многие учащиеся долго не могут этому научиться. Помочь им овладеть этим умением надо еще в средних классах школы, предлагая упражнения 6 – 10.

1. 
   Закройте листом цветной бумаги переднюй грань куба, и опишите свои впечатления. [Более четко просматривается такой куб, как на рис. 6а.]
2. 
   Закройте листом цветной бумаги заднюю грань куба и постарайтесь передать свои впечатления рисунком. На что похож рисунок: на шкафчик? полочку?
3. 
   Что вы видите на рис. 7? [Брусок с углублением (задняя стенка углубления – плоскость АВ), или брусок с выступающим шипом , где АВ – его передняя грань, или открытую часть пустого ящика с прилегающим к стенкам изнутри кирпичом].

На рис. 8а фигура не дорисована (верхняя часть изображения закрыта листом бумаги.) Дорисуйте ее.

[Ребята обычно дорисовывают фигуру так, как на рис. 8б и не видят никакой ловушки. Она становится ясна только при взгляде на рис. 8в. Учащиеся понимают, что таких фигур , как на рис. 8в в реальности не существует].

Поясните, может ли существовать не на бумаге, а в жизни фигура, показанная на рис. 9.

Рис. 9 Рис. 10

Третья серия заданий использует развертки куба, цилиндра.

11. Сколько граней у шестигранного карандаша? [Восемь, если карандаш не отточен. Часто отвечают «шесть»].

12. Из бумаги склеили куб. Ясно, что его мож­но разрезать на шесть равных квадратов. А можно ли его разрезать на двенадцать квадратов? [Нетрудно доказать , что фигура, состоящая из объединения треугольников А и В на рис. 10, расположенных в одной плоскости, есть квадрат].

13. На рис. 11 слева показана развертка какого-то куба. Какие кубы из тех , что даны справа на том же рисунке, можно сложить из этой развертки? [Кубы на рис. 11, b , с, f ].

14 . На рис. 12а изображен куб, на гранях которого написаны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6.(Мы видим только три первых числа.) Сумма чисел, стоящих на противолежащих гранях, равна 7. На четырех развертках куба (рис. 12б) напи­шите пять чисел – одно уже написано – так, чтобы это соответствовало нашему кубу.

15. На рис. 13а изображен кусок бумаги. Можно ли оклеить в один слой , этим куском бу­маги, не разрезая его, какой-нибудь кубик? [Можно, если грань куба такая, как заштрихо­ванная на рис. 13б].

16. Какой из восьми рисунков (см. рис. 14) маляр нанес на стену изображенным тут же валиком? [«Накатан» шестой рисунок].

Рис. 14
Задания на проекции фигур.

17. Какую форму имеет тень куба на плоскость, перпендикулярную его диагонали , от пучка лучей света, параллельных этой диаго­нали? [Правильный шестиугольник].

18. На рис. 15а жирной линией показаны фигуры, согнутые из проволоки. Изобразите три их проекции: на переднюю грань куба, на боковую его грань и на верхнюю грань. [Ответы на рис. 15б под изображениями со­ответствующих фигур].

Рис. 15

19. Согните из мягкой проволоки фигуру , при параллельном проектировании которой на разные плоскости получаются буквы: С, Л, О, Г. [См. рис. 16. Есть и другие решения, если вписывать проволочную фигуру в куб].

20. На рис. 17а изображена дощечка с различными отверстиями. Найдите единствен­ную затычку, закрывающую три отверстия. [Ответ на рис. 17б].

Многие из перечисленных здесь задач ценны тем, что предметы, о которых в них говорится , учащиеся могут изготовить сами. Нетрудно согнуть проволоку и проверить по ней свои решения задач 18 и 19. Не вызовет технических затруднений и изготовление бумажных развер­ток куба, о которых говорится в задачах 12 – 15.

Дощечку с отверстиями к задаче 20 тоже можно рассмотреть в натуре – вырезать из картона, фанеры или пенопласта.

Однако во всех случаях модели желательно делать после решения, а не для решения. Если учитель начинает рассмотрение предлагаемых задач с моделей, то именно воображение учащихся не задействуется и стимул для его развития получается слабым.

В заключение отмечу , что оригинальность задач вызывает у учащихся интерес и при работе на уроке и во внеклассной деятельности, а это является одним из необходимых условий успешного изучения предмета.

Своеобразие геометрии, выделяющее ее среди других разделов математики, да и всех наук вообще, заключается в неразрывном органическом соединении живого воображения со строгой логикой. Геометрия в своей сути и есть пространственное воображение, пронизанное и организованное строгой логикой.

Во всяком подлинно геометрическом предложении, будь то аксиома, теорема или определение, неразрывно присутствуют эти два элемента: наглядная картина и строгая формулировка, строгий логический вывод. Там, где нет одной из двух сторон, нет и подлинной геометрии.

Наглядность, воображение принадлежат больше к искусству, строгая логика – привилегия науки. Сухость точного вывода и живость наглядной картины – “лед и пламень не столь различны меж собой”. Так геометрия соединяет в себе эти две противоположности. Так ее и надо изучать, соединяя живость воображения с логикой, наглядные картины со строгими формулировками и доказательствами.

Поэтому основное правило изучения геометрии состоит в том, что встречаясь с определением, теоремой или задачей, нужно прежде всего представить и понять их содержание: представить наглядно, нарисовать или, еще лучше, хотя и труднее, вообразить то, о чем идет речь, и одновременно понять, как это точно выражается.

Не секрет, что многие учащиеся не обладают достаточно развитым пространственным воображением. Проблема старая, но актуальная. Если учитель не решает ее еще тогда, когда ведет младшие и средние классы, то через несколько лет его уроки стереометрии с теми же учениками будут терять большую часть своей эффективности.

Все психологические процессы, в том числе и пространственное воображение, развивается и совершенствуется в результате деятельности. Эта деятельность должна чем-то стимулироваться и направляться, т.е. необходима система упражнений.

За годы работы в школе, я пришел к выводу, что пространственное воображение учеников следует развивать с первых уроков математики в пятом классе.

В настоящее время разработаны различные системы развития пространственного воображения у младших школьников, в том числе и компьютерные. Мною на протяжении ряда лет используется более простая система, которую я называю курсом “Введение в геометрию”, рассчитанного на преподавание в 5 – 6 классах. Его цель – подготовить учащихся к овладению систематическим курсом геометрии.

При определении содержания “Введения” нужно было понять, что именно наиболее трудно дается детям в начале систематического курса. Этот курс догматичен. В нем почти отсутствует мотивация, его логика скрыта от детей. В самом деле, он начинается с точек и прямых, потом идут углы, потом треугольники и т.д. Но ученики не знают, что будет впереди, не ведают ни о цилиндрах, ни о пирамидах.

Разъединенность планиметрии и стереометрии – весьма вредная для дела особенность курса. У учащихся подавляется пространственное воображение. Последние издания учебника “Геометрия”, 10 – 11 классы авторов Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов и др. пытаются сгладить переход от планиметрии к стереометрии, изображая объемные тела цветными, но при переходе учащихся от учебника к рабочим тетрадям эта попытка сходит на нет. Изображение фигуры в тетради становится бесцветным, и учащиеся испытывают затруднения в чтении и изображении таких рисунков. (Не заставлять же старшеклассников рисовать цветными карандашами!)

В поисках преодоления этого недостатка уместно обратиться к истокам геометрии. Первоначальные геометрические сведения, дошедшие до нас, содержатся в египетских папирусах и вавилонских клинописных таблицах, имеющих более чем четырехтысячелетнюю давность. Получение новых геометрических фактов при помощи рассуждений (доказательств) относится к VI в. до н.э. и связано с именем древнегреческого математика Фалеса, который впервые применил движения: перегибание чертежа, поворот части фигуры и т.д. Постепенно геометрия становится дедуктивной наукой, т.е. наукой, в которой подавляющее большинство фактов устанавливается путем вывода, доказательства. Вершиной древнегреческой геометрии была книга “Начала”, написанная Евклидом (III в. до н.э.), содержащая свойства параллелограммов и трапеций, подобие многоугольников, теорему Пифагора и т.д.

В нынешнем курсе представлен, лишь, евклидов этап истории геометрии, а доевклидов не рассматривается вовсе. Не отражено в нем то время, когда ученые еще не владели методами строгих доказательств, но знали уже практически все, что входит в нынешнюю школьную геометрию. Почему бы ни познакомить учащихся перед систематическим курсом со всеми объектами изучения, используя для этого часть часов, отведенных на повторение изученного материала в 5 – 6 классах. Тогда в 7 классе можно четко поставить задачу – выстроить уже знакомый материал так, чтобы удалось доказать справедливость уже известных фактов и других, еще неизвестных. При такой постановке вопроса изживается догматизм, а те умения, которые удается сформировать в 5 – 6 классах, делают дальнейшее изучение геометрии не таким трудным.

Измерение длин известно из начальной школы, а при изучении измерения площадей, объемов и углов легче разъяснить практическую необходимость измерения объемов. Поэтому введение в геометрию удобно начать с изготовления литровой емкости – куба с ребром 1 дм. При этом внимание учащихся обращается на то, что для изготовления этого куба нужно иметь шесть квадратов со стороной 1 дм и при склеивании их нужно прикладывать друг к другу определенным образом. Учащиеся получают очень важный опыт, который недостижим в нынешних условиях, ведь измерение объемов изучается в кусе стереометрии Х – ХI классов. (Не заставлять же старшеклассников клеить кубы!) Уже на этом примере просматриваются определенные навыки: дети измеряют, чертят, вырезают, клеят. В дальнейшем добавляются вычисления по формулам.

Следующий вопрос – измерение объема полулитровой емкости, весьма распространенной в торговле и в быту. Можно разрезать литровый куб пополам горизонтальной (вертикальной) плоскостью, проходящей через середины сторон, или вертикальной (горизонтальной) плоскостью, проходящей по диагоналям оснований.

В первом случае мы делили пополам высоту куба, а основание не трогали. Вообще, если не изменять основание, а изменять высоту, то объем изменится во столько же раз. Во втором случае мы не трогали высоту, но в два раза уменьшили площадь его основания. Так мы приходим к объяснению формулы объема призмы. Учащиеся применяют полученные знания при выполнении практической работы.

Заметим, что для решения многих задач не надо специальных знаний, т. е. их можно предлагать учащимся уже в пятом классе.

Первую серию задач условно можно назвать “выходом в пространство”. Это устные задачи, в которых, казалось бы, ничего не сказано о пространстве. Даже наоборот, упоминание о треугольниках в задаче 2 и о расположении и монет в задаче 3 (читатель сразу думает, что монеты должны лежать на плоскости) навязывает “плоскостные” образы. Нужно преодолеть это, “вывести” свою мысль “в пространство”, чтобы правильно выполнить предложенные задания.

Например:

1. Разделите круглый сыр тремя разрезами на восемь частей.

2. Из шести спичек сложите четыре правильных треугольника так, чтобы стороной каждого была целая спичка.

3. Расположите пять одинаковых монет так, чтобы каждая из них касалась четырех остальных.

4. Можно ли расположить шесть одинаковых карандашей так, чтобы каждый касался пяти остальных? (Ответы смотри в приложении1)

Часто приходится сопровождать изучение аксиом стереометрии и их следствий изображением многогранников, решением задач на построение сечений и т.д. Но ученики должны “видеть” этот многогранник. Поэтому еще до изучения стереометрии уместно предложить задачи с кубом, параллелепипедом, некоторыми другими геометрическими телами. Эта группа заданий связана с иллюзиями и невозможными объектами .

На этом рисунке <Рисунок1> любой математик видит куб, а не только два квадрата, вершины которых попарно соединены. А нарисованы все-таки квадраты… Видеть куб нам позволяет хорошо развитое пространственное воображение. Но удивительно: один раз мы видим этот куб как бы сверху и справа <Рисунок2>, а другой – снизу и слева <Рисунок3>. Это уже казусы иллюзии, которыми надо уметь управлять, подчиняя свое воображение, той реальности, о которой говорится в конкретной задаче.

Но многие учащиеся не могут сразу научиться видеть в плоской фигуре выпуклые тела. Помочь им еще в средних классах наша задача. Предлагая ряд плоскостных рисунков, попробуем преодолеть трудности восприятия.

Например:

5. Закройте листом цветной бумаги переднюю грань куба и опишите свои впечатления. (Более четко просматривается такой куб, как на рисунке 2)

6. Закройте листом цветной бумаги заднюю грань куба и постарайтесь передать свои впечатления рисунком. На что похож ваш рисунок: на шкафчик? полочку?

7. Попробуйте представить, глядя на рисунок, сначала коридор <Рисунок4> (трубу <Рисунок5>, по которому вы движетесь, затем перевернутое детское ведерко, на кторое вы смотрите сверху. (В первом случае больший квадрат (окружность) находится ближе к нам, во втором – дальше).

Третья серия заданий использует развертки куба, призмы, цилиндра и конуса.

8. Сколько граней у шестигранного карандаша? (Восемь, если карандаш не заточен. Часто отвечают “шесть”).

9. Из бумаги склеили куб. Ясно, что его можно разрезать на шесть равных квадратов. А можно ли его разрезать на двенадцать квадратов? (Нетрудно доказать, что фигура состоящая из объединения треугольников передней и верхней граней, расположенных в одной плоскости, есть квадрат). <Рисунок6>

10. На рисунке изображен кусок бумаги. Можно ли оклеить в один слой этим куском бумаги, не разрезая его, какой-нибудь кубик? (Можно, если грань куба такая, как выделенная цветом). <Рисунок7>

Следующая серия заданий – это задания на проекции. Дети очень часто играют, изображая различные тени на стене, столе и т.д. В качестве примера приведу следующую задачу:

11. Какую форму имеет тень куба на плоскость, перпендикулярную его диагонали, от пучка лучей света, параллельных этой диагонали? (Правильный шестиугольник).

В заданиях на проекции фигур, широко могут использоваться задачи на изображение фигур, согнутых из проволоки, когда луч света направляется на куб под разными углами. Эти задачи ценны тем, что предметы, о которых в них говорится, учащиеся могут изготовить сами. Не вызовет технических затруднений и изготовление бумажных разверток куба. Однако следует заметить: во всех случаях модели желательно делать после решения, а не для решения. Если начинать рассмотрение предлагаемых задач с моделей, то именно воображение учащихся не задействуется и стимул для его развития получается слабым.

Особое место в развитии мышления занимает обучение сравнению, в частности сравнению факта, выраженного словесно, с его интерпретацией на чертеже. Чертеж может служить опровержением какого-то общего высказывания. Учась опровергать неверные высказывания, школьники постепенно привыкают к доказательствам. А это необходимый вид деятельности при изучении геометрии.

Итак, разносторонняя работа с рисунком, чертежом не только способствует общему умственному развитию школьников, но развивает пространственное воображение, обеспечивая более полное и продуктивное изучение геометрии, и начинать эту работу необходимо в 5 – 6 классах при изучении математики.

Пространственное мышление – важный элемент умственной деятельности человека. Оно отвечает за ориентацию в пространстве, способность к решению задач по геометрии, возможность представления объектов в трехмерном измерении. Нарушение этого вида мышления приводит к глобальной дезориентации человека.

С точки зрения психологии – это процесс, который создает пространственные образы и определяет отношения между ними.

С практической точки зрения пространственное мышление позволяет человеку проще решать задачи по геометрии, химии, физике, черчению и даже лучше справляться с процессом изучения литературы. С помощью трехмерного мышления возможно формирование в сознании картин в динамике, что делает процесс чтения или изучения чего-либо захватывающим и интересным. Такой вид мышления достигает высокого уровня развития в спортивной профессии, связанной с ориентацией в пространстве.

В психологии так же бытует мнение, что ориентация в пространстве и связанное с ней мышление по разному проявляет себя у жителей разной местности . Научное исследование показало, что люди, проживающее в горах, легко могут определить размер объекта, расположенного внизу, чем прямо или вверху. Живущие в долинах – склонны к верному определению размера и расстояния на равнине. И эта особенность не нарушение функционирования пространственного восприятия, данное наблюдение говорит о следующем:

Пространственное мышление и навыки, связанные с ним, получают свое развитие и достигают более высокого уровня посредством получения человеком аналогичного опыта.

Составные части

Характеристика пространственного интеллекта включает в себя несколько этапов, имеющих ряд специфических особенностей:

• Анализ – разделение объекта или задачи на составляющие его части.
• Синтез – обратный анализу процесс – соединение объекта или задачи в единое целое.
• Абстрагирование – определение нескольких этапов задания, которые должны быть в нем. На этом этапе происходит формирование понятий.
• Обобщение – определение и выделение значимых частей объекта или предмета, которые нужно сравнить между собой.
• Конкретизация – обратный процесс обобщения – выделение характерных заданию этапов, не связанных с этапами решений.

В конце статьи представлен тест на определение уровня развития пространственного интеллекта, который строится на этих этапах. В основном, тест состоит из определения соотношения и последовательности разнообразных фигур.

Методы развития

Развитие пространственного мышления лучше всего начинать в раннем детстве, потому что к подростковому возрасту его формирование считается уже полностью завершенным. Однако, в психологии существуют методы и упражнения, способствующие развитию его более высокого уровня и в более зрелом возрасте. Незначительное нарушение в структуре трехмерного мышления с точки зрения психологии возможно корректировать, так же используя упражнения и игры, список которых представлен ниже :

1. Оригами, пазлы

Формирование в голове форм фигур происходит в процессе складывания пазлов и различных предметов из бумаги. Происходит это благодаря тому, что прежде чем фигуру сложить – ее надо представить в голове. Методы конструкторской деятельности так же подходят для изучения предметов в школе – они облегчают исследование литературы, переключая детей на практические действия.

1. Манипуляции с фигурами

Для этого нужно взять несколько фигур – например, квадрат, круг, куб и т.п. Их нужно попробовать наложить друг на друга и запечатлеть в сознании полученный результат. Усложняя это упражнение, попробуйте тоже самое сделать мысленно – представьте фигуру в объемном формате, назовите ее стороны, точки соединения, как будет выглядеть фигура и изменится ее характеристика, если на нее наложить другую и т.п.

1. Перечерчивание фигур

Методы изучения геометрии и черчения заложены в основе этого упражнения. Данная методика имеет несколько вариантов сложности :

• Простое перечерчивание: макет фигуры необходимо перенести на бумагу.
• Перечерчивание с изменениями: фигура копируется на бумагу, но к ней нужно добавить либо несколько см., либо другую фигуру.
• Перечерчивание с изменением масштаба. Суть упражнения в копировании объекта с изменением размера, например, в два раза больше или меньше.
• Перечерчивание из памяти. Фигуру нужно представить в сознании и затем перенести на бумагу.

С точки зрения психологии, задачи из этого упражнения способствуют формированию не только трехмерного мышления, но и навыков черчения, запоминания.

1. Представления.

Лучше оперировать линиями и отрезками, например: представить несколько линий, соединить их в одно целое и затем нарисовать фигуру на бумаге, или на несколько отрезков наложить куб – воспроизвести то, что из этого получилось.

1. Схемы и чертежи.

Сюда относятся любые объекты и предметы, фигуры, детали или план квартиры. Изображать их можно как по макету, так и опираясь на собственные представления. Создание схем и чертежей доступно онлайн.

1. Игра «Угадай предмет».

Эта методика подойдет для самых маленьких и проходит в формате игры: ребенку закрывают глаза и дают предмет для тактильного изучения. Исследование объекта должно занимать не более одной минуты, подглядывание и подсказки – это нарушение правил игры . Задача малыша предположить, что это за предмет, описать его характеристики.

1. Игра «Муха».

Развивать пространственный интеллект помогут и игры для взрослых. Данная предназначена для компании от 3-х человек – два непосредственно участвуют, третий – следит за процессом игры и отслеживает возможное нарушение правил. Два игрока представляют в воображении решетку 9 квадратов в длину и 9 в ширину. В самом верхнем углу справа располагается муха. Игроки по очереди делают шаги, переставляя муху на разные квадраты. Схема решетки, изображенная на бумаге, имеется у третьего участника, где он отмечает все действия игроков. Затем он говорит «стоп», и участники озвучивают, где, по их мнению, находится муха. Выигрывает тот, кто назвал верный квадрат.

А как у вас развито пространственное мышление?

Формирование высокого уровня пространственного интеллекта во многом облегчает нашу жизнь. Деятельность некоторых профессий напрямую связана с этим навыком. Например, вы никогда не сможете стать успешным в профессии дизайнера, художника, инженера, конструктора, логиста не обладая способностью к трехмерному восприятию.

В повседневной жизни пространственное мышление позволит вам систематизировать пространство в квартире, доме, ориентироваться за рулем и обходиться без навигатора.

Степень развития данного вида умственной деятельности поможет определить тест, состоящий из 10 вопросов. Этот тест можно пройти онлайн.