Линия на плоскости есть совокупность точек этой плоскости, обладающих определенными свойствами, при этом точки, не лежащие на данной линии, этими свойствами не обладают. Уравнение линии определяет аналитически выраженное соотношение между координатами точек, лежащих на этой линии. Пусть это соотношение задано уравнением

F(x,y )=0. (2.1)

Пара чисел, удовлетворяющая (2.1), – не произвольная: если х задано, то у не может быть каким угодно, значение у связано с х . При изменении х изменяется у , и точка с координатами (х,у ) описывает данную линию. Если координаты точки М 0 (х 0 ,у 0) удовлетворяют уравнению (2.1), т.е. F(х 0 ,у 0)=0 – верное равенство, то точка М 0 лежит на данной линии. Верно и обратное утверждение.

Определение. Уравнением линии на плоскости называется уравнение, которому удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на этой линии, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой линии .

Если известно уравнение некоторой линии, то исследование геометрических свойств этой линии можно свести к исследованию ее уравнения – в этом заключается одна из основных идей аналитической геометрии. Для исследования уравнений существуют хорошо разработанные методы математического анализа, которые упрощают изучение свойств линий.

При рассмотрении линий используется термин текущая точка линии – переменная точка М(х,у ), перемещающаяся вдоль этой линии. Координаты х и у текущей точки называются текущими координатами точки линии.

Если из уравнения (2.1) можно явным образом выразить у
через х , т. е. записать уравнение (2.1) в виде , то кривую, определяемую таким уравнением, называют графиком функции f(х) .

1. Дано уравнение: , или . Если х принимает произвольные значения, то у принимает значения, равные х . Следовательно, линия, определяемая этим уравнением, состоит из точек, равноотстоящих от координатных осей Ох и Оу – это биссектриса I–III координатных углов (прямая на рис. 2.1).

Уравнение , или , определяет биссектрису II–IV координатных углов (прямая на рис. 2.1).

0 х 0 х С 0 х

рис. 2.1 рис. 2.2 рис. 2.3

2. Дано уравнение: , где С – некоторая постоянная. Это уравнение можно записать иначе: . Этому уравнению удовлетворяют те и только те точки, ординаты у которых равны С при любом значении абсциссы х . Эти точки лежат на прямой, параллельной оси Ох (рис. 2.2). Аналогично, уравнение определяет прямую, параллельную оси Оу (рис. 2.3).

Не всякое уравнение вида F(x,y )=0 определяет линию на плоскости: уравнению удовлетворяет единственная точка – О(0,0), а уравнению не удовлетворяет ни одна точка на плоскости.

В приведенных примерах мы по заданному уравнению строили определяемую этим уравнением линию. Рассмотрим обратную задачу: составить по заданной линии ее уравнение.

3. Составить уравнение окружности с центром в точке Р(a,b ) и
радиусом R.

○ Окружность с центром в точке Р и радиусом R есть совокупность точек, отстоящих от точки Р на расстоянии R. Это значит, что для любой точки М, лежащей на окружности, МР= R, если же точка М не лежит на окружности, то МР ≠ R.. ●

Давайте повторим * Какое уравнение называется квадратным? * Какие уравнения называются неполными квадратными уравнениями? * Какое квадратное уравнение называется приведенным? * Что называют корнем квадратного уравнения? * Что значит решить квадратное уравнение? Какое уравнение называется квадратным? Какие уравнения называются неполными квадратными уравнениями? Какое квадратное уравнение называется приведенным? Что называют корнем квадратного уравнения? Что значит решить квадратное уравнение? Какое уравнение называется квадратным? Какие уравнения называются неполными квадратными уравнениями? Какое квадратное уравнение называется приведенным? Что называют корнем квадратного уравнения? Что значит решить квадратное уравнение?

Алгоритм решения квадратного уравнения: 1. Опредилить каким способом рациональней решить квадратное уравнение 2. Выбрать наиболее рациональный способ решения 3. Определение количества корней квадратного уравнения 4. Нахождение корней квадратного уравнения Для лучшего запоминания заполним таблицу… Для лучшего запоминания заполним таблицу… Для лучшего запоминания заполним таблицу…

Дополнительное условие Уравнение Корни Примеры 1. в = с = 0, а 0 ах 2 = 0 х 1 = 0 2. с = 0, а 0, в 0 ах 2 + bх = 0 х 1 = 0, х 2 =-b/а 3. в = 0, а 0, в 0 ах 2 + с = 0 а) х 1,2 = ±(c/а), где с/а 0. б) если с/а 0, то решений нет 4. а 0 ах 2 + bх + с = 0 x 1,2 =(-b±D)/2 а, где D = в 2 – 4 ас, D0 5. в – четное число (в = 2k), а 0, в 0, с 0 ах 2 + 2kx + c = 0 х 1,2 =(-b±D)/а, D 1 = k 2 – ac, где k = 6. Теорема обратная теореме Виета x 2 + px + q = 0x 1 + x 2 = - p x 1 x 2 = q

II. Специальные методы 7. Метод выделения квадрата двучлена. Цель: Привести уравнение общего вида к неполному квадратному уравнению. Замечание: метод применим для любых квадратных уравнений, но не всегда удобен в использовании. Используется для доказательства формулы корней квадратного уравнения. Пример: решите уравнение х 2 -6 х+8=0 8. Метод «переброски» старшего коэффициента. Корни квадратных уравнений ax 2 + bx + c = 0 и y 2 +by+ac=0 связаны соотношениями: и Замечание: метод хорош для квадратных уравнений с «удобными» коэффициентами. В некоторых случаях позволяет решить квадратное уравнение устно. Пример: решите уравнение 2 х 2 -9 х-5=0 На основании теорем:Пример: решите уравнение 157 х х-177=0 9. Если в квадратном уравнении a+b+c=0, то один из корней равен 1, а второй по теореме Виета равен с /а 10. Если в квадратном уравнении a+c=b, то один из корней равен -1, а второй по теореме Виета равен –с/а Пример: решите уравнение 203 х х+17=0 х 1 =у 1 /а, х 2 =у 2 /а

III. Общие методы решения уравнений 11. Метод разложения на множители. Цель: Привести квадратное уравнение общего вида к виду А(х)·В(х)=0, где А(х) и В(х) – многочлены относительно х. Способы: Вынесение общего множителя за скобки; Использование формул сокращенного умножения; Способ группировки. Пример: решите уравнение 3 х 2 +2 х-1=0 12. Метод введения новой переменной. Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной Пример: решите уравнение (х 2 +3 х-25) 2 -6(х 2 +3 х-25)= - 8

Цель: Рассмотреть понятие линии на плоскости, привести примеры. Основываясь на определение линии, ввести понятие уравнения прямой на плоскости. Рассмотреть виды прямой, привести примеры и способы задания прямой. Закрепить умение переводить уравнение прямой из общего вида в уравнение прямой «в отрезках», с угловым коэффициентом.

1. Уравнение линии на плоскости.
2. Уравнение прямой на плоскости. Виды уравнений.
3. Способы задания прямой.

1. Пусть х и у – две произвольные переменные.

Определение : Соотношение вида F(x,y)=0 называется уравнением , если оно справедливо не для всяких пар чисел х и у.

Пример : 2х + 7у – 1 = 0 , х 2 + y 2 – 25 = 0.

Если равенство F(x,y)=0 выполняется для любых х, у, то, следовательно, F(x,y) = 0 – тождество.

Пример: (х + у) 2 - х 2 - 2ху - у 2 = 0

Говорят, что числа х 0 и у 0 удовлетворяют уравнению , если при их подстановке в это уравнение оно обращается в верное равенство.

Важнейшим понятием аналитической геометрии является понятие уравнения линии.

Определение : Уравнением данной линии называется уравнение F(x,y)=0, которому удовлетворяют координаты всех точек, лежащих на этой линии, и не удовлетворяют координаты никакой из точек, не лежащих на этой линии.

Линия, определяемая уравнением y = f(x), называется графиком функции f(x). Переменные х и у – называются текущими координатами, т. к. являются координатами переменной точки.

Несколько примеров определения линий.

1) х – у = 0 => х = у. Это уравнение определяет прямую:

2) х 2 - у 2 = 0 => (х-у)(х+у) = 0 => точки должны удовлетворять либо уравнению х - у = 0, либо уравнению х + у = 0, что соответствует на плоскости паре пересекающихся прямых, являющихся биссектрисами координатных углов:

3) х 2 + у 2 = 0. Этому уравнению удовлетворяет только одна точка О(0,0).

2. Определение: Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А 2 + В 2 ¹ 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

C = 0, А ¹ 0, В ¹ 0 – прямая проходит через начало координат

А = 0, В ¹ 0, С ¹ 0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

В = 0, А ¹ 0, С ¹ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

В = С = 0, А ¹ 0 – прямая совпадает с осью Оу

А = С = 0, В ¹ 0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких–либо заданных начальных условий.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

и обозначить , то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k .

Уравнение прямой в отрезках.

Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0, то, разделив на –С, получим: или , где

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

Нормальное уравнение прямой.

Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется нормирующем множителем , то получим

xcosj + ysinj - p = 0 –нормальное уравнение прямой.

Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы m×С < 0.

р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а j - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

3. Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.

Пусть угловой коэффициент прямой равен k, прямая проходит через точку М(х 0 , у 0). Тогда уравнение прямой находится по формуле: у – у 0 = k(x – x 0)

Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Пусть в пространстве заданы две точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M 2 (x 2, y 2 , z 2), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:

Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.

На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:

если х 1 ¹ х 2 и х = х 1 , еслих 1 = х 2 .

Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.

Линию на плоскости можно задать при помощи двух уравнений

где х и у - координаты произвольной точки М (х ; у ), лежащей на данной линии, а t - переменная, называемая параметром .

Параметр t определяет положение точки (х ; у ) на плоскости.

Так, если

то значению параметра t = 2 соответствует на плоскости точка (4; 1), т.к. х = 2 + 2 = 4, y = 2 · 2 – 3 = 1.

Если параметр t изменяется, то точка на плоскости перемещается, описывая данную линию. Такой способ задания кривой называется параметрическим , а уравнения (1) - параметрическими уравнениями линии .

Рассмотрим примерыизвестных кривых, заданных в параметрическом виде.

1) Астроида:

где а > 0 – постоянная величина.

При а = 2 имеет вид:

Рис.4. Астроида

2) Циклоида: где а > 0 – постоянная.

При а = 2 имеет вид:

Рис.5. Циклоида

Векторное уравнение линии

Линию на плоскости можно задать векторным уравнением

где t – скалярный переменный параметр.

Каждому значению параметра t 0 соответствует определённый вектор плоскости. При изменении параметра t конец вектора опишет некоторую линию (рис. 6).

Векторному уравнению линии в системе координат Оху

соответствуют два скалярных уравнения (4), т.е. уравнения проекций

на оси координат векторного уравнения линии есть её параметрические уравнения.

Рис.6. Векторное уравнение линии

Векторное уравнение и параметрические уравнения линии имеют механический смысл. Если точка перемещается на плоскости, то указанные уравнения называются уравнениями движения , линия – траекторией точки, параметр t - время .

Решение уравнения

Иллюстрация графического метода нахождения корней уравнения

Решение уравнения - задача по нахождению таких значений аргументов, при которых это равенство достигается. На возможные значения аргументов могут быть наложены дополнительные условия (целочисленности, вещественности и т. д.).

При подстановке другого корня получается неправильное утверждение:

.

Таким образом, второй корень нужно отбросить, как посторонний.

Виды уравнений

Различают алгебраические , параметрические , трансцендентные , функциональные , дифференциальные и другие виды уравнений.

Некоторые классы уравнений имеют аналитические решения, которые удобны тем, что не только дают точное значение корня, а позволяют записать решение в виде формулы, в которую могут входить параметры. Аналитические выражения позволяют не только вычислить корни, а провести анализ их существования и их количества в зависимости от значений параметров, что часто бывает даже важнее для практического применения, чем конкретные значения корней.

К уравнениям, для которых известны аналитические решения, относятся алгебраические уравнения, не выше четвёртой степени: линейное уравнение , квадратное уравнение , кубическое уравнение и уравнение четвёртой степени . Алгебраические уравнения высших степеней в общем случае аналитического решения не имеют, хотя некоторые из них можно свести к уравнениям низших степеней.

Уравнение, в которые входят трансцендентные функции называются трансцендентными. Среди них аналитические решения известны для некоторых тригонометрических уравнений, поскольку нули тригонометрических функций хорошо известны.

В общем случае, когда аналитического решения найти не удается, применяют численные методы . Численные методы не дают точного решения, а только позволяют сузить интервал , в котором лежит корень, до определенного заранее заданного значения.

Примеры уравнений

См. также

Литература

• Бекаревич, А. Б. Уравнения в школьном курсе математики / А. Б. Бекаревич. - М., 1968.
• Маркушевич, Л. А. Уравнения и неравенства в заключительном повторении курса алгебры средней школы / Л. А. Маркушевич, Р. С. Черкасов. / Математика в школе. - 2004. - № 1.
• Каплан Я. В. Рівняння. - Киев: Радянська школа, 1968.
• Уравнение - статья из Большой советской энциклопедии
• Уравнения // Энциклопедия Кольера. - Открытое общество. 2000.
• Уравнение // Энциклопедия Кругосвет
• Уравнение // Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977-1985.

Ссылки

• EqWorld - Мир математических уравнений - содержит обширную информацию о математических уравнениях и системах уравнений.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Синонимы :

Антонимы :

• Хаджимба, Рауль Джумкович
• ЕС ЭВМ

Смотреть что такое "Уравнение" в других словарях:

УРАВНЕНИЕ - (1) математическая запись задачи о разыскании таких значений аргументов (см. (2)), при которых значения двух данных (см.) равны. Аргументы, от которых зависят эти функции, называют неизвестными, а значения неизвестных, при которых значения… … Большая политехническая энциклопедия

УРАВНЕНИЕ - УРАВНЕНИЕ, уравнения, ср. 1. Действие по гл. уравнять уравнивать и состояние по гл. уравняться уравниваться. Уравнение в правах. Уравнение времени (перевод истинного солнечного времени в среднее солнечное время, принятое в общежитии и в науке;… … Толковый словарь Ушакова

УРАВНЕНИЕ - (equation) Требование того, чтобы математическое выражение принимало определенное значение. Например, квадратное уравнение записывается в виде: ах2+bх+с=0. Решением является такие значения х, при котором данное уравнение становится тождеством. В… … Экономический словарь

УРАВНЕНИЕ - математическая запись задачи о разыскании значений аргументов, при которых значения двух данных функций равны. Аргументы, от которых зависят эти функции, называются неизвестными, а значения неизвестных, при которых значения функций равны,… … Большой Энциклопедический словарь

УРАВНЕНИЕ - УРАВНЕНИЕ, два выражения, соединенные знаком равенства; в эти выражения входят одна или несколько переменных, называемых неизвестными. Решить уравнение значит найти все значения неизвестных, при которых оно обращается в тождество, или установить … Современная энциклопедия