Исчисление бесконечно малых и больших

Исчисление бесконечно малых - вычисления, производимые с бесконечно малыми величинами, при которых производный результат рассматривается как бесконечная сумма бесконечно малых. Исчисление бесконечно малых величин является общим понятием для дифференциальных и интегральных исчислений , составляющих основу современной высшей математики . Понятие бесконечно малой величины тесно связано с понятием предела .

Бесконечно малая

Последовательность a n называется бесконечно малой , если . Например, последовательность чисел - бесконечно малая.

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки x 0 , если .

Функция называется бесконечно малой на бесконечности , если либо .

Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если , то f (x ) − a = α(x ) , .

Бесконечно большая величина

Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция x sinx , неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при .

Последовательность a n называется бесконечно большой , если .

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки x 0 , если .

Функция называется бесконечно большой на бесконечности , если либо .

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших

Сравнение бесконечно малых величин

Как сравнивать бесконечно малые величины?
Отношение бесконечно малых величин образует так называемую неопределённость .

Определения

Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же величины α(x ) и β(x ) (либо, что не суть важно для определения, бесконечно малые последовательности).

Для вычисления подобных пределов удобно использовать правило Лопиталя .

Примеры сравнения

С использованием О -символики полученные результаты могут быть записаны в следующем виде x 5 = o (x 3). В данном случае справедливы записи 2x 2 + 6x = O (x ) и x = O (2x 2 + 6x ).

Эквивалентные величины

Определение

Если , то бесконечно малые величины α и β называются эквивалентными ().
Очевидно, что эквивалентные величины являются частным случаем бесконечно малых величин одного порядка малости.

При справедливы следующие соотношения эквивалентности (как следствия из т.н. замечательных пределов):

Теорема

Предел частного (отношения) двух бесконечно малых величин не изменится, если одну из них (или обе) заменить эквивалентной величиной .

Данная теорема имеет прикладное значение при нахождении пределов (см. пример).

Пример использования

Заменяя s i n 2x эквивалентной величиной 2x , получаем

Исторический очерк

Понятие «бесконечно малое» обсуждалось ещё в античные времена в связи с концепцией неделимых атомов, однако в классическую математику не вошло. Вновь оно возродилось с появлением в XVI веке «метода неделимых» - разбиения исследуемой фигуры на бесконечно малые сечения.

В XVII веке произошла алгебраизация исчисления бесконечно малых. Они стали определяться как числовые величины, которые меньше всякой конечной (ненулевой) величины и всё же не равны нулю. Искусство анализа заключалось в составлении соотношения, содержащего бесконечно малые (дифференциалы), и затем - в его интегрировании .

Математики старой школы подвергли концепцию бесконечно малых резкой критике. Мишель Ролль писал, что новое исчисление есть «набор гениальных ошибок »; Вольтер ядовито заметил, что это исчисление представляет собой искусство вычислять и точно измерять вещи, существование которых не может быть доказано. Даже Гюйгенс признавался, что не понимает смысла дифференциалов высших порядков.

Как иронию судьбы можно рассматривать появление в середине века нестандартного анализа , который доказал, что первоначальная точка зрения - актуальные бесконечно малые - также непротиворечива и могла бы быть положена в основу анализа.

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Бесконечно малая величина" в других словарях:

БЕСКОНЕЧНО МАЛАЯ ВЕЛИЧИНА - переменная величина в некотором процессе, если она в этом процессе безгранично приближается (стремится) к нулю … Большая политехническая энциклопедия

Бесконечно малая величина - ■ Нечто неизвестное, но имеет отношение к гомеопатии … Лексикон прописных истин

Единственность предела и ограниченность сходящейся числовой последовательности

Определение 1 . Числовая последовательность (1) называется ограниченной, если множество членов этой последовательности образует ограниченное множество.

В этом случае числовую последовательность (1) мы будем называть ограниченной величиной .

Определение 2 . Числовая последовательность (1) сходится и имеет предел (Возможно использование записи ), если .

Давайте повторим это определение, используя в большей степени русский язык. Предел числовой последовательности существует и равен некоторому числу, если, начиная с некоторого номера, все члены последовательности удалены от этого предельного числа менее, чем любое, наперед заданное, сколь угодно малое положительное число. Можно это же самое сказать другими словами. Число будет пределом числовой последовательности (1) тогда и только тогда, когда для каждой -окрестности точки все члены последовательности, начиная с некоторого номера, лежат в этой –окрестности. Заметим, что интервал называется -окрестностью точки .

Теорема 1 . Если предел числовой последовательности существует, то он единственный.

Доказательство . Доказательство теоремы проведем «методом от противного». Предположим, что теорема неверна и существует, как минимум, 2 числа и (), для которых выполнены условия определения 2. В этом определении возьмем . Тогда, после номера члены последовательности отличаются от числа меньше чем на , а после номера члены последовательности отличаются от числа меньше чем на . Покажем, что этого не может быть. В самом деле, при выполнены соотношения , , откуда для этих имеем . Теорема доказана.

Теорема 2 . Если числовая последовательность имеет предел, то эта числовая последовательность ограничена.

Доказательство . Доказательство будет носить конструктивный характер. Возьмем и найдем соответствующее . Разобьем последовательность на 2 части: первые членов и остальные члены последовательности. Первая группа состоит из конечного числа членов и поэтому ограничена. Вторая группа состоит из чисел, удаленных от предельного значения не больше чем на 1, и поэтому также ограничена. Объединение двух ограниченных множеств есть множество ограниченное. Теорема доказана.

Бесконечно малые величины и их свойства

Определение 3 . Числовая последовательность называется бесконечно малой величиной , если она имеет предел, равный 0.

Для бесконечно малых величин используются обозначение б. м .

Пусть заданы числовые последовательности и . Числовая последовательность с общим членом , называется суммой этих числовых последовательностей. Числовая последовательность с общим членом , называется суммой этих числовых последовательностей. Числовая последовательность с общим членом , называется суммой этих числовых последовательностей.

Теорема 3 . Сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

Доказательство . Достаточно доказать утверждение для суммы двух б. м. Пусть числовые последовательности и являются бесконечно малыми величинами, т. е. пределы этих последовательностей равны 0. Данный факт означает следующее. Если задано произвольное, скроль угодно малое положительное число , то для числа и числовой последовательности существует номер , обладающий тем свойством, что при выполнено соотношение . По той же причине для этого же числа и числовой последовательности существует номер , обладающий тем свойством, что при выполнено соотношение . Возьмем число , тогда при справедливы соотношения . Итак, для произвольного мы нашли номер , такой что при выполнено . Следовательно, предел последовательности , равен 0, и она является бесконечно малой величиной. Теорема доказана.

Теорема 4 . Произведение бесконечно малой величины на ограниченную величину есть величина бесконечно малая.

Доказательство . Пусть числовая последовательность является бесконечно малой величиной, а числовая последовательность является ограниченной величиной. Это означает что, с одной стороны, , с другой стороны, существует число такое, что для каждого выполнено условие . Пусть теперь задано произвольное, скроль угодно малое положительное число . Рассмотрим числа , для него в числовой последовательности существует номер , обладающий тем свойством, что при выполнено соотношение . При этом будет выполнено условие , что и означает, что произведение этих двух величин – бесконечно малой и ограниченной есть величина бесконечно малая. Теорема доказана.

Свойства пределов

А как конкретно происходит вычисление пределов, в данном случае числовых последовательностей? Мы стараемся представить величину, предел которой надо найти, в виде суммы, разности, произведения, частного более простых величин, предел которых легко найти. Для обоснования такого подхода надо сформулировать и доказать свойства пределов.

Теорема 5 . Числовая последовательность имеет предел, равный тогда и только тогда, когда последовательность , является бесконечно малой величиной.

Доказательство . Пусть , т.е. при для каждого при выполнено неравенство (). Но это неравенство равносильно тому, что , т. е. последовательность , имеет предел 0, т.е. является бесконечно малой величиной. Теорема доказана. , где - б. м. Отсюда следует, что . В последней скобке сумма двух бесконечно малых величин есть величина б. м. Поэтому представляется в виде суммы и бесконечно малой величины . В силу теоремы 5 это означает, что . Первое утверждение теоремы доказана. Формула доказывается совершенно аналогично. Рассмотрим теперь формулу и используем для преобразования левой части те же обозначения. Поэтому …

Понятие бесконечно малых и бесконечно больших величин играет важную роль в математическом анализе. Многие задачи просто и легко решаются используя понятия бесконечно больших и малых величин.

Бесконечно малые .

Переменная называется бесконечно малой, если для любогосуществует такое значение, что каждое следующии за ним значениебудет по абсолютной величине меньше.

Если -бесконечно малая то говорят, что стремится к нулю, и пишут:.

Бесконечно большие .

Переменная x называется бесконечно большой , если для всякого положительного числа c существует такое значение , что каждое следующее за нимx будет по абсолютной величине больше . Пишут:

Величина, обратная к бесконечно большой , есть величина бесконечно малая , и обратно.

10. Свойства пределов функции

1) Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

2) Предел суммы

Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности двух функций равен разности пределов этих функций.

Расширенное свойство предела суммы:

Предел суммы нескольких функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности нескольких функций равен разности пределов этих функций.

3) Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициент можно выносить за знак предела:

4) Предел произведения

Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:

Расширенное свойство предела произведения

Предел произведения нескольких функций равен произведению пределов этих функций:

5) Предел частного

Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

11. Первый замечательный предел

Доказательство

Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1.

Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности ().

Точка K - точка пересечения луча с окружностью, а точка L - с касательной к единичной окружности в точке . Точка H - проекция точки K на ось OX .

Очевидно, что:

(где - площадь сектора )

Подставляя в (1), получим:

Так как при :

Умножаем на :

Перейдём к пределу:

Найдём левый односторонний предел:

Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.

12-13. Второй замечательный предел

или

Доказательство второго замечательного предела:

Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что . Рассмотрим два случая:

1. Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где - это целая часть x.

Отсюда следует: , поэтому

Если , то . Поэтому, согласно пределу , имеем:

По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .

2. Пусть . Сделаем подстановку , тогда

Из двух этих случаев вытекает, что для вещественного Х

14. Частные производные.

Пусть z=f (x,y ) . Зафиксируем какую-либо точку (x,y ), а затем, не меняя закрепленного значения аргумента y , придадим аргументу x приращение . Тогда z получит приращение, которое называется частным приращением z по x и обозначается и определяется формулой .

Аналогично, если x сохраняет постоянное значение, а y получает приращение , то z получает частное приращение z по y ,.

Определение . Частной производной по x от функции z=f (x,y ) называется предел отношения частного приращения по x к приращению при стремлении к нулю, т.е.

Частная производная обозначается одним из символов.

Аналогично определяется частная производная по y :

.

Таким образом, частные производные функции двух переменных вычисляются по тем же правилам, что и производные функции одного переменного.

Пример . Найти частные производные функции z=x 2 e x-2y .

Частные производные функции любого числа переменных определяются аналогично.

Сравнение бесконечно малых функций, эквивалентные функции

Бесконечно малые и бесконечно большие величины.

О.1. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного числа А (сколь большим бы мы его не взяли) существует номер N такой, что при n›N выполняется неравенство | х п | › А, т.е. какое бы большое число А мы не взяли, найдется такой номер, начиная с которого все члены последовательности окажутся больше А.

Определение 6 . Последовательность {α п } называется бесконечно малой, если для любого положительного числа ε (сколь малым бы мы его не взяли) существует номер N такой, что при n›N выполняется неравенство | α п | ‹ε.

1. Последовательность {п} является бесконечно большой.

2. Последовательность {} является бесконечно малой.

Теорема 1. Если {х п } - бесконечно большая последовательность и все ее члены отличны от нуля, х п ≠0, то последовательность {α п }=- бесконечно малая, и, обратно, если {α п } бесконечно малая последовательность, α п ≠0, то последовательность {х п }=бесконечно большая.

Сформулируем основные свойства бесконечно малых последовательностей в виде теорем.

Теорема 2. Сумма и разность двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малые последовательности.

Пример 2. Последовательность с общим членом бесконечно малая, т.к. т.е заданная последовательность является суммой бесконечно малых последовательностей и и поэтому является бесконечно малой.

Следствие. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Теорема 3. Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Следствие. Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Замечание. Частное двух бесконечно малых последовательностей может быть любой последовательностью и может не иметь смысла.

Например, если , , то все элементы последовательности равны 1 и данная последовательность является ограниченной. Если , , то последовательность - бесконечно большая, и наоборот, если , а , то - бесконечно малая последовательность. Если начиная с некоторого номера элементы последовательности равны нулю, то последовательность не имеет смысла.

Теорема 4. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.

Пример 3. Последовательность бесконечно малая, т.к. и последовательность {}- бесконечно малая, последовательность - ограничена, т.к. ‹ 1. Следовательно, - бесконечно малая последовательность.

Следствие. Произведение бесконечно малой последовательности на число есть бесконечно малая последовательность.

Определение. Функция f(x) называется бесконечно большой при , если для любого, даже сколь угодно большого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от М, δ=δ(М)), что для всех х, не равных х 0 и удовлетворяющих условию , выполняется неравенство

Записывают: или при .

Например, функция есть бесконечно большая функция при ; функция при .

Если f(x) стремится к бесконечности при и принимает лишь положительные значения, то пишут , если лишь отрицательные значения, то .

Определение. Функция f(x), заданная на всей числовой прямой, называется бесконечно большой при , если для любого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от М, N=N(М)), что при всех х, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство

Например, функция у=2 х есть бесконечно большая функция при ; функция является бесконечно большой функцией при .

Свойства бесконечно больших функций:

1. Произведение б.б.ф. на функцию, предел которой отличен от нуля, есть б.б.ф.

2. Сумма б.б.ф. и ограниченной функции есть б.б.ф.

3. Частное от деления б.б.ф. на функцию, имеющую предел, есть б.б.ф.

Например, если функция f(x)=tgx есть б.б.ф. при , функция φ(х)=4х-3 при имеет предел (2π-3) отличный от нуля, а функция ψ(х)=sinx – ограниченная функция, то

f(x) φ(х)=(4х-3) tgx; f(x) + ψ(х)= tgx + sinx; есть бесконечно большие функции при .

Определение. Функция f(x) называется бесконечно малой при , если

По определению предела функции равенство (1) означает: для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от ε, δ=δ(ε)), что для всех х, не равных х 0 и удовлетворяющих условию , выполняется неравенство

Теорема. Для выполнения равенства необходимо и достаточно, чтобы функция была бесконечно малой при . При этом функция может быть представлена в виде .

Аналогично определяется б.м.ф. при ,- 0, , во всех случаях f(x)0.

Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми величинами или бесконечно малыми; обозначают обычно греческими буквами α, β и т.д.

Например, у=х 2 при х→0; у=х-2 при х→2; у=sinx при х→πк, - бесконечно малые функции.

Свойства бесконечно малых функций:

1. Сумма конечного числа бесконечно малых функций есть величина бесконечно малая;

2. Произведение конечного числа бесконечно малых функций, а также бесконечно малой функции на ограниченную функция, есть величина бесконечно малая;

3. Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нолю, если величина бесконечно малая.

Рассмотрим последнее свойство при если функции и являются бесконечно малыми (Сравнение бесконечно малых функций):

1). Если , то называется бесконечно малой, более высокого порядка малости, чем .

Пример . При х→2 функция (х - 2) 3 бесконечно малая более высокого порядка, чем (х -2), так как .

2). Если , то и называются бесконечно малыми одного порядка (имеют одинаковую скорость стремления к нолю);

Пример . При х→0 функции 5х 2 и х 2 являются бесконечно малыми одного порядка, так как .

3). Если ,то и называются эквивалентными бесконечно малыми, обозначаются ~., то

Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями: функция обратная бесконечно малой является бесконечно большой (и наоборот), т.е. если - бесконечно малая функция, то - бесконечно большая.

Приводится определение бесконечно малой последовательности. Она обладает свойствами сходящихся последовательностей. Также имеются свойства, характерные только для последовательностей с пределом равным нулю. Приводятся доказательства таких свойств. Рассмотрен пример, в котором нужно доказать, что последовательность бесконечно малая.

Содержание

Определение

Бесконечно малая последовательность { α n } - это сходящаяся последовательность, предел которой равен нулю:
.

Следующие свойства являются прямым следствием арифметических свойств , примененных к последовательностям, предел которых равен нулю.

Свойство суммы и разности бесконечно малых последовательностей

Сумма и разность конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.
Также линейная комбинация конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.
Доказательство предела суммы и разности числовых последовательностей .

Свойство произведения бесконечно малых последовательностей

Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.
Доказательство предела произведения числовых последовательностей .

Следующие свойства относятся только к бесконечно малым последовательностям и не являются прямым следствием свойств сходящихся последовательностей.

{ x n }
x n = b + α n ,
где { α n }

Доказательства свойств

Свойство произведения ограниченной последовательности на бесконечно малую

Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую является бесконечно малой последовательностью.

Доказательство

Пусть последовательность ограничена некоторым числом :
(3.1) .

Пусть последовательность - бесконечно малая. То есть имеется такая функция , зависящая от переменной , что для любого положительного значения переменной , выполняется неравенство
(3.2) при .

Пусть последовательность является произведением последовательностей и . Ее общий член имеет вид:
.
Нам нужно найти такую функцию , при которой выполняется неравенство
(3.3) при .

Применим (3.1) и (3.2):
.
Это выполняется при . Итак,
.
Положим :
.

То есть мы нашли такую функцию , при которой, для любого положительного числа , выполняется неравенство:
(3.3) при .

Свойство доказано.

Свойство представления сходящейся последовательности через бесконечно малую

Для того, чтобы последовательность { x n } имела предел b , необходимо и достаточно, чтобы
x n = b + α n ,
где { α n } - бесконечно малая последовательность.

Доказательство

Необходимость . Пусть . Рассмотрим последовательность с общим членом . Используем арифметические свойства пределов :
.
То есть - бесконечно малая последовательность.

Достаточность . Пусть . На основании арифметических свойств пределов имеем:
.

Свойство доказано.

Пример

Все примеры Используя определение предела последовательности доказать, что последовательность

является бесконечно малой.

Выпишем определение бесконечно малой последовательности:
.
Поскольку n является натуральным числом, n = 1, 2, 3, ... , то
,
,
.
Поэтому члены последовательности являются положительными числами. Тогда
.

Итак, мы получили следующую оценку:
.
Вводим положительные числа и :
.
Согласно свойствам неравенств , если и , то
.

Отсюда следует, что для любого положительного можно найти натуральное число , так что при ,
.
Это означает, что предел исходной последовательности равен нулю и, следовательно, она является бесконечно малой.