Что такое параллелограмм определение. Теоремы параллелограмма

Параллелограмм представляет собой четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Это определение уже достаточно, так как остальные свойства параллелограмма следуют из него и доказываются в виде теорем.

Основными свойствами параллелограмма являются:

параллелограмм - это выпуклый четырехугольник;
у параллелограмма противоположные стороны попарно равны;
у параллелограмма противоположные углы попарно равны;
диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Параллелограмм - выпуклый четырехугольник

Докажем сначала теорему о том, что параллелограмм является выпуклым четырехугольником . Многоугольник является выпуклым тогда, когда какая бы его сторона не была продлена до прямой, все остальные стороны многоугольника окажутся по одну сторону от этой прямой.

Пусть дан параллелограмм ABCD, у которого AB противоположная сторона для CD, а BC - противоположная для AD. Тогда из определения параллелограмма следует, что AB || CD, BC || AD.

У параллельных отрезков нет общих точек, они не пересекаются. Это значит, что CD лежит по одну сторону от AB. Поскольку отрезок BC соединяет точку B отрезка AB с точкой C отрезка CD, а отрезок AD соединяет другие точки AB и CD, то отрезки BC и AD также лежат по ту же сторону от прямой AB, где лежит CD. Таким образом, все три стороны - CD, BC, AD - лежат по одну сторону от AB.

Аналогично доказывается, что по отношению к другим сторонам параллелограмма три остальные стороны лежат с одной стороны.

Противоположные стороны и углы равны

Одним из свойств параллелограмма является то, что в параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы попарно равны . Например, если дан параллелограмм ABCD, то у него AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Доказывается эта теорема следующим образом.

Параллелограмм является четырехугольником. Значит, у него две диагонали. Так как параллелограмм - это выпуклый четырехугольник, то любая из них делит его на два треугольника. Рассмотрим в параллелограмме ABCD треугольники ABC и ADC, полученные в результате проведения диагонали AC.

У этих треугольников одна сторона общая - AC. Угол BCA равен углу CAD, как вертикальные при параллельных BC и AD. Углы BAC и ACD также равны как вертикальные при параллельных AB и CD. Следовательно, ∆ABC = ∆ADC по двум углам и стороне между ними.

В этих треугольниках стороне AB соответствует сторона CD, а стороне BC соответствует AD. Следовательно, AB = CD и BC = AD.

Углу B соответствует угол D, т. е. ∠B = ∠D. Угол A параллелограмма представляет собой сумму двух углов - ∠BAC и ∠CAD. Угол же C равен состоит из ∠BCA и ∠ACD. Так как пары углов равны друг другу, то ∠A = ∠C.

Таким образом, доказано, что в параллелограмме противоположные стороны и углы равны.

Диагонали делятся пополам

Так как параллелограмм - это выпуклый четырехугольник, то у него две две диагонали, и они пересекаются. Пусть дан параллелограмм ABCD, его диагонали AC и BD пересекаются в точке E. Рассмотрим образованные ими треугольники ABE и CDE.

У этих треугольников стороны AB и CD равны как противоположные стороны параллелограмма. Угол ABE равен углу CDE как накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD. По этой же причине ∠BAE = ∠DCE. Значит, ∆ABE = ∆CDE по двум углам и стороне между ними.

Также можно заметить, что углы AEB и CED вертикальные, а следовательно, тоже равны друг другу.

Так как треугольники ABE и CDE равны друг другу, то равны и все их соответствующие элементы. Стороне AE первого треугольника соответствует сторона CE второго, значит, AE = CE. Аналогично BE = DE. Каждая пара равных отрезков составляет диагональ параллелограмма. Таким образом доказано, что диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам .

Параллелограмм - четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Площадь параллелограмма равна произведению его основания (a) на высоту (h). Также можно найте его площадь через две стороны и угол и через диагонали.

Свойства параллелограмма

1. Противоположные стороны тождественны

Первым делом проведем диагональ $AC $ . Получаются два треугольника: $ABC $ и $ADC $ .

Так как $ABCD $ - параллелограмм, то справедливо следующее:

$AD || BC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2 $ как лежащие накрест.

$AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4 $ как лежащие накрест.

Следовательно, (по второму признаку: и $AC $ - общая).

И, значит, $\triangle ABC = \triangle ADC $ , то $AB = CD $ и $AD = BC $ .

2. Противоположные углы тождественны

Согласно доказательству свойства 1 мы знаем, что $\angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4 $ . Таким образом сумма противоположных углов равна: $\angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4 $ . Учитывая, что $\triangle ABC = \triangle ADC $ получаем $\angle A = \angle C $ , $\angle B = \angle D $ .

3. Диагонали разделены пополам точкой пересечения

По свойству 1 мы знаем, что противоположные стороны тождественны: $AB = CD $ . Еще раз отметим накрест лежащие равные углы.

Таким образом видно, что $\triangle AOB = \triangle COD $ по второму признаку равенства треугольников (два угла и сторона между ними). То есть, $BO = OD $ (напротив углов $\angle 2 $ и $\angle 1 $ ) и $AO = OC $ (напротив углов $\angle 3 $ и $\angle 4 $ соответственно).

Признаки параллелограмма

Если лишь один признак в вашей задаче присутствует, то фигура является параллелограммом и можно использовать, все свойства данной фигуры.

Для лучшего запоминания, заметим, что признак параллелограмма будет отвечать на следующий вопрос - «как узнать?» . То есть, как узнать, что заданная фигура это параллелограмм.

1. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого две стороны равны и параллельны

$AB = CD $ ; $AB || CD \Rightarrow ABCD $ - параллелограмм.

Рассмотрим подробнее. Почему $AD || BC $ ?

$\triangle ABC = \triangle ADC $ по свойству 1 : $AB = CD $ , $\angle 1 = \angle 2 $ как накрест лежащие при параллельных $AB $ и $CD $ и секущей $AC $ .

Но если $\triangle ABC = \triangle ADC $ , то $\angle 3 = \angle 4 $ (лежат напротив $AD || BC $ ($\angle 3 $ и $\angle 4 $ - накрест лежащие тоже равны).

Первый признак верен.

2. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные стороны равны

$AB = CD $ , $AD = BC \Rightarrow ABCD $ - параллелограмм.

Рассмотрим данный признак. Еще раз проведем диагональ $AC $ .

По свойству 1 $\triangle ABC = \triangle ACD $ .

Из этого следует, что: $\angle 1 = \angle 2 \Rightarrow AD || BC $ и $\angle 3 = \angle 4 \Rightarrow AB || CD $ , то есть $ABCD $ - параллелограмм.

Второй признак верен.

3. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные углы равны

$\angle A = \angle C $ , $\angle B = \angle D \Rightarrow ABCD $ - параллелограмм.

$2 \alpha + 2 \beta = 360^{\circ} $ (поскольку $\angle A = \angle C $ , $\angle B = \angle D $ по условию).

Получается, . Но $\alpha $ и $\beta $ являются внутренними односторонними при секущей $AB $ .

И то, что $\alpha + \beta = 180^{\circ} $ говорит и о том, что $AD || BC $ .

1. Определение параллелограмма.

Если пару параллельных прямых пересечём другой парой параллельных прямых, то получим четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

В четырёхугольниках ABDС и ЕFNМ (рис. 224) ВD || АС и AB || СD;

ЕF || МN и ЕМ || FN.

Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом.

2. Свойства параллелограмма.

Теорема . Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.

Пусть имеется параллелограмм ABDС (рис. 225), в котором AB || СD и АС || ВD.

Требуется доказать, что диагональ делит его на два равных треугольника.

Проведём в параллелограмме ABDС диагональ СВ. Докажем, что $\Delta$CAB = $\Delta$СDВ.

Сторона СВ общая для этих треугольников; ∠ABC = ∠BCD, как внутренние накрест лежащие углы при параллельных AB и СD и секущей СВ; ∠ACB = ∠СВD, тоже как внутренние накрест лежащие углы при параллельных АС и ВD и секущей CB.

Отсюда $\Delta$CAB = $\Delta$СDВ.

Таким же путём можно доказать, что диагональ AD разделит параллелограмм на два равных треугольника АСD и ABD.

Следствия:

1 . Противоположные углы параллелограмма равны между собой.

∠А = ∠D, это следует из равенства треугольников CAB и СDВ.

Аналогично и ∠С = ∠В.

2. Противоположные стороны параллелограмма равны между собой.

AB = СD и АС = ВD, так как это стороны равных треугольников и лежат против равных углов.

Теорема 2. Диагонали параллелограмма в точке их пересечения делятся пополам.

Пусть BC и AD - диагонали параллелограмма AВDС (рис. 226). Докажем, что АО = OD и СО = OB.

Для этого сравним какую-нибудь пару противоположно расположенных треугольников, например $\Delta$AOB и $\Delta$СОD.

В этих треугольниках AB = СD, как противоположные стороны параллелограмма;

∠1 = ∠2, как углы внутренние накрест лежащие при параллельных AB и СD и секущей AD;

∠3 = ∠4 по той же причине, так как AB || СD и СВ - их секущая.

Отсюда следует, что $\Delta$AOB = $\Delta$СОD. А в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Следовательно, АО = OD и СО = OB.

Теорема 3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180° .

В параллелограмме ABCD проведем диагональ АС и получим два треугольника ABC и ADC.

Треугольники равны, так как ∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3 (накрест лежащие углы при параллельных прямых), а сторона АС общая.
Из равенства $\Delta$ABC = $\Delta$ADC следует, что AB = CD, BC = AD, ∠B = ∠D.

Сумма углов, прилежащих к одной стороне, например углов А и D, равна 180° как односторонних при параллельных прямых.

Определение

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Точку пересечения диагоналей параллелограмма называют его центром .

Свойства параллелограмма:

Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна $180^{\circ}$, а противоположные углы равны.
Противолежащие стороны параллелограмма равны.
Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

Доказательство

Пусть дан параллелограмм $ABCD$.

1. Заметим, что соседние углы $A$ и $B$ параллелограмма являются внутренними односторонними при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AB$, то есть их сумма равна $180^\circ$. Аналогично для других пар углов.

Если $\angle A + \angle B=180^\circ$ и $\angle C + \angle B=180^\circ$, то $\angle A = \angle C$. Аналогично, $\angle B = \angle D$.

2. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $CDA$. Из параллельности противоположных сторон параллелограмма следует, что $\angle BAC=\angle DCA$ и $\angle BCA=\angle DAC$. Поскольку $AC$ - общая, то треугольники $ABC$ и $CDA$ равны по второму признаку. Из равенства треугольников следует, что $AB=CD$ и $BC=AD$.

3. Поскольку параллелограмм - выпуклый четырехугольник, то его диагонали пересекаются. Пусть $O$ - точка пересечения. Из параллельности сторон $BC$ и $AD$ параллелограмма следует, что $\angle OAD=\angle OCB$ и $\angle ODA=\angle OBC$. Учитывая равенство $BC=AD$ получим, что треугольники $AOD$ и $COB$ равны по второму признаку. Следовательно, $AO=CO$ и $DO=BO$, что и требовалось.

Признаки параллелограмма:

Если в четырехугольнике сумма любых двух соседних углов равна $180^{\circ}$, то этот четырехугольник - параллелограмм.
Если в четырехугольнике противолежащие углы попарно равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.
Если в четырехугольнике противолежащие стороны попарно равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.
Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм.
Если диагонали четырехугольника делятся точкой их пересечения пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм.

Доказательство

Пусть дан четырехугольник $ABCD$.

1. Заметим, что соседние углы $A$ и $B$ являются внутренними односторонними при прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AB$. Так как их сумма равна $180^\circ$, то прямые $AD$ и $BC$ параллельны. Аналогично для другой пары прямых, то есть $ABCD$ - параллелограмм по определению.

2. Заметим, что $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D=360^\circ$. Если $\angle A = \angle C$, а $\angle B = \angle D$, то $\angle A + \angle B=180^\circ$ и аналогично для других пар соседних углов. Далее используем предыдущий признак.

3. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $CDA$. Поскольку $AC$ - общая, то из равенства противоположных сторон параллелограмма следует, что треугольники $ABC$ и $CDA$ равны по третьему признаку. Следовательно, $\angle BAC=\angle DCA$ и $\angle BCA=\angle DAC$, откуда следует параллельность противолежащих сторон.

4. Пусть $BC$ и $AD$ равны и параллельны. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $CDA$. Из параллельности прямых следует, что $\angle BCA=\angle DAC$. Поскольку $AC$ - общая и $BC=AD$, то треугольники $ABC$ и $CDA$ равны по первому признаку. Следовательно, $AB=CD$. Далее используем предыдущий признак.

5. Пусть $O$ - точка пересечения диагоналей и $AO=CO$, а $DO=BO$.Учитывая равенство вертикальных углов, получим, что треугольники $AOD$ и $COB$ равны по первому признаку. Следовательно, $\angle OAD=\angle OCB$, откуда следует параллельность $BC$ и $AD$. Аналогично для другой пары сторон.

Определение

Четырехугольник, в котором есть три прямых угла, называется прямоугольником.

Свойства прямоугольника:

Диагонали прямоугольника равны.

Доказательство

Пусть дан прямоугольник $ABCD$. Поскольку прямоугольник является параллелограммом, то его противолежащие стороны равны. Тогда прямоугольные треугольники $ABD$ и $DCA$ равны по двум катетам, откуда следует, что $BD=AC$.

Признаки прямоугольника:

Если в параллелограмме есть прямой угол, то этот параллелограмм является прямоугольником.
Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Доказательство

1. Если один из углов параллелограмма прямой, то, учитывая, что сумма соседних углов равна $180^{\circ}$, получим, что прямыми являются и остальные углы.

2. Пусть в параллелограмме $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ равны. Учитывая равенство противолежащих сторон $AB$ и $DC$, получим, что треугольники $ABD$ и $DCA$ равны по третьему признаку. Следовательно, $\angle BAD=\angle CDA$, то есть они прямые. Осталось воспользоваться предыдущим признаком.

Определение

Четырехугольник, в котором все стороны равны, называется ромбом.

Свойства ромба:

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов.

Доказательство

Пусть в ромбе $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Так как ромб является параллелограммом, то $AO=OC$. Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$. Так как $AO$ - медиана проведнная к основанию, то она является биссектрисой и высотой, что и требовалось.

Признаки ромба:

Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом.
Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм является ромбом.

Доказательство

Пусть в параллелограмме $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Рассмотрим треугольник $ABC$.

1. Если диагонали перпендикулярны, то $BO$ является в треугольнике медианой и высотой.

2. Если диагональ $BD$ содержит биссектрису угла $ABC$, то $BO$ является в треугольнике медианой и биссектрисой.

В обоих случаях получим, что треугольник $ABC$ - равнобедренный и в параллелограмме соседние стороны равны. Следовательно, он является ромбом, что и требовалось.

Определение

Прямоугольник, у которого две соседние стороны равны, называется квадратом.

Признаки квадрата:

Если у ромба есть прямой угол, то этот ромб является квадратом.
Если у ромба диагонали равны, то этот ромб является квадратом.

Доказательство

Если у параллелограмма есть прямой угол или равны диагонали, то он является прямоугольником. Если же четырехугольник является прямоугольником и ромбом, то он - квадрат.

Определение

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

На рисунке 1 изображен параллелограмм $A B C D, A B\|C D, B C\| A D$.

Свойства параллелограмма

В параллелограмме противоположные стороны равны: $A B=C D, B C=A D$ (рис 1).
В параллелограмме противоположные углы равны $\angle A=\angle C, \angle B=\angle D$ (рис 1).
Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам $A O=O C, B O=O D$ (рис 1).
Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.

Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне равна $180^{\circ}$:

$$\angle A+\angle B=180^{\circ}, \angle B+\angle C=180^{\circ}$$

$$\angle C+\angle D=180^{\circ}, \angle D+\angle A=180^{\circ}$$

Диагонали и стороны параллелограмма связаны следующим соотношением:

$$d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2 a^{2}+2 b^{2}$$

В параллелограмме угол между высотами равен его острому углу: $\angle K B H=\angle A$.
Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, взаимно перпендикулярны.
Биссектрисы двух противоположных углов параллелограмма параллельны.

Признаки параллелограмма

Четырехугольник $ABCD$ будет параллелограммом, если

$A B=C D$ и $A B \| C D$
$A B=C D$ и $B C=A D$
$A O=O C$ и $B O=O D$
$\angle A=\angle C$ и $\angle B=\angle D$

Площадь параллелограмма можно вычислить по одной из следующих формул:

$S=a \cdot h_{a}, \quad S=b \cdot h_{b}$

$S=a \cdot b \cdot \sin \alpha, \quad S=\frac{1}{2} d_{1} \cdot d_{2} \cdot \sin \phi$

Примеры решения задач

Пример

Задание. Сумма двух углов параллелограмма равна $140^{\circ}$. Найти больший угол параллелограмма.

Решение. В параллелограмме противоположные углы равны. Обозначим больший угол параллелограмма $\alpha$, а меньший угол $\beta$. Сумма углов $\alpha$ и $\beta$ равна $180^{\circ}$, поэтому заданная сумма, равная $140^{\circ}$, это сумма двух противоположных углов, тогда $140^{\circ} : 2=70^{\circ}$. Таким образом меньший угол $\beta=70^{\circ}$. Больший угол $\alpha$ найдем из соотношения:

$\alpha+\beta=180^{\circ} \Rightarrow \alpha=180^{\circ}-\beta \Rightarrow$

$\Rightarrow \alpha=180^{\circ}-70^{\circ} \Rightarrow \alpha=110^{\circ}$

Ответ. $\alpha=110^{\circ}$

Пример

Задание. Стороны параллелограмма равны 18 см и 15 см, а высота, проведенная к меньшей стороне, равна 6 см. Найти другую высоту параллелограмма.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 2)