Решим теперь задачу о приведении произвольней системы сил к данному центру, т. е. о замене данной системы сил другой, ей эквивалентной, но значительно более простой, а именно состоящей, как мы увидим, только из одной силы и пары.
Пусть на твердое тело действует произвольная система сил (рис. 40, а).
Выберем какую-нибудь точку О за центр приведения и, пользуясь теоремой, доказанной в § 11, перенесем все силы в центр О, присоединяя при этом соответствующие пары (см. рис. 37, б). Тогда на тело будет действовать система сил
приложенных в центре О, и система пар, моменты которых согласно формуле (18) равны:
Сходящиеся силы, приложенные в точке О, заменяются одной силой R, приложенной в точке О. При этом или, согласно равенствам (19),
Чтобы сложить все полученные пары, надо сложить векторы моментов этих пар. В результате система пар заменится одной парой, момент которой или, согласно равенствам (20),
Как известно, величина R, равная геометрической сумме всех сил, называется главным вектором системы величина равная геометрической сумме моментов всех сил относительно центра О, называется главным моментом системы сил относительно этого центра.
Таким образом, мы доказали следующую теорему о приведении системы сил: любая система сил, действующих на абсолютно твердое тело, при приведении к произвольно выбранному центру О заменяется одной силой R, равной главному вектору системы сил и приложенной в центре приведения О, и одной парой с моментом равным главному моменту системы сил относительно центра О (рис. 40, б).
Заметим, что сила R не является здесь равнодействующей данной системы сил, так как заменяет систему сил не одна, а вместе с парой.
Из доказанной теоремы следует, что две системы сил, имеющие одинаковые главные векторы и главные моменты относительно одного и того же центра, эквивалентны (условия эквивалентности систем сил).
Отметим еще, что значение R от выбора центра О, очевидно, не зависит. Значение же при изменении положения центра О может в общем случае изменяться вследствие изменения значений моментов отдельных сил. Поэтому всегда необходимо указывать, относительно какого центра определяется главный момент.
Метод приведения одной силы к данной точке можно применить к какому угодно числу сил. Допустим, что в некоторых точках тела (рис. 1.24) приложены силы F 1 F 2 , F 3 и F 4 . Требуется привести эти силы к точке О плоскости. Приведем сначала силу приложенную в точке А. Приложим (см. § 16) в точке О две силы равные порознь по значению заданной силе параллельные ей и направленные в противоположные стороны. В результате приведения силы получим силу , приложенную в точке О, и пару сил с плечом . Поступив таким же образом с силой , приложенной в точке В, получим силу , приложенную в точке О, и пару сил с плечом и т. д. Плоскую систему сил, приложенных в точках А, В, С и D, мы заменили сходящимися силами , приложенными в точке О, и парами сил с моментами, равными моментам заданных сил относительно точки О:
рис.1.24
Сходящиеся в точке силы можно заменить одной силой равной геометрической сумме составляющих,
Эту силу, равную геометрической сумме заданных сил, называют главным вектором системы сил и обозначают .
По величине проекций главного вектора на оси координат находим модуль главного вектора:
На основании правила сложения пар сил их можно заменить результирующей парой, момент которой равен алгебраической сумме моментов заданных сил относительно точки О и называется главным моментом относительно точки приведения
Таким образом, произвольная плоская система сил приводиться к одной силе (главному вектору системы сил) и одному моменту (главному моменту системы сил).
Необходимо усвоить, сто главный вектор не является равнодействующей данной системы сил, так как эта система не эквивалентна одной силе . Так как главный вектор равен геометрической сумме сил заданной системе, то ни модуль, ни направление его не зависит от выбора центра приведения. Значение и знак главного момента зависит от положения центра приведения, так как плечи составляющих пар зависят от взаимного положения сил и точки (центра) относительно которой берутся моменты.
Частные случаи приведения системы сил:
1) ; система находиться в равновесии, т.е. для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы ее главный вектор и главный момент одновременно были равны нулю.
Лекция 5
Краткое содержание: Приведение силы к заданному центру. Приведение системы сил к заданному центру. Условия равновесия пространственной системы параллельных сил. Условия равновесия плоской системы сил. Теорема о трех моментах. Статически определимые и статически неопределимые задачи. Равновесие системы тел.
ПРИВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ СИЛ К ЗАДАННОМУ ЦЕНТРУ. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ
Приведение силы к заданному центру.
Равнодействующая системы сходящихся сил непосредственно находится с помощью сложения сил по правилу параллелограмма. Очевидно, что аналогичную задачу можно будет решить и для произвольной системы сил, если найти для них метод, позволяющий перенести все силы в одну точку.
Теорема о параллельном переносе силы . Силу, приложенную к абсолютно твердому телу, можно, не изменяя оказываемого ею действия, переносить из данной точки в любую другую точку тела, прибавляя при этом пару с моментом, равным моменту переносимой силы относительно точки, куда сила переносится.
Пусть сила приложена в точке A. Действие этой силы не изменяется, если в точке B приложить две уравновешенные силы. Полученная система трех сил представляет собой силу равную , но приложенную в точке В и пару с моментом . Процесс замены силы силой и парой сил называется приведением силы к заданному центру В.
Приведение системы сил к заданному центру.
Основная теорема статики (Пуансо).
Любую произвольную систему сил, действующую на твердое тело, можно в общем случае привести к силе и паре сил. Этот процесс замены системы сил одной силой и одной парой сил называется приведением системы сил к заданному центру .
Главным вектором системы сил называется вектор, равный векторной сумме этих сил.
Главным моментом системы сил относительно точки О тела, называется вектор, равный векторной сумме моментов всех сил системы относительно этой точки.
Формулы для вычисления главного вектора и главного момента
Формулы для вычисления модуля и направляющих косинусов
главного вектора и главного момента
Условия равновесия системы сил.
Векторная форма.
Для равновесия произвольной системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор системы сил был равен нулю и главный момент системы сил относительно любого центра приведения также был равен нулю.
Алгебраическая форма.
Для равновесия произвольной системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы три суммы проекций всех сил на оси декартовых координат были равны нулю и три суммы моментов всех сил относительно трех осей координат также были равны нулю.
Условия равновесия пространственной системы
параллельных сил.
На тело действует система параллельных сил. Расположим ось Oz параллельно силам.
Уравнения 
Для равновесия пространственной системы параллельных сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций этих сил была равна нулю и суммы моментов этих сил относительно двух координатных осей, перпендикулярным силам, также были равны нулю.
- проекция силы на ось Oz.
ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ.
Условия равновесия плоской системы сил.
На тело действует плоская система сил. Расположим оси Ox и Oy в плоскости действия сил.
Уравнения 
Для равновесия плоской системы сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из двух прямоугольных осей координат, расположенных в плоскости действия сил, были равны нулю и сумма моментов этих сил относительно любой точки, находящейся в плоскости действия сил также была равна нулю.
Теорема о трех моментах.
Для равновесия плоской системы сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов этих сил системы относительно трех любых точек, расположенных в плоскости действия сил и не лежащих на одной прямой, были равны нулю.
Статически определимые и статически неопределимые задачи.
Для любой плоской системы сил, действующих на твердое тело, имеется три независимых условия равновесия. Следовательно, для любой плоской системы сил из условий равновесия можно найти не более трех неизвестных.
В случае пространственной системы сил, действующих на твердое тело, имеется шесть независимых условия равновесия. Следовательно, для любой пространственной системы сил из условий равновесия можно найти не более шести неизвестных.
Задачи, в которых число неизвестных не больше числа независимых условий равновесия для данной системы сил, приложенных к твердому телу, называются статически определимыми .
В противном случае задачи статически неопределимы.
Равновесие системы тел.
Рассмотрим равновесие сил, приложенных к системе взаимодействующих между собой тел. Тела могут быть соединены между собой с помощью шарниров или иным способом.
Силы, действующие на рассматриваемую систему тел, можно разделить на внешние и внутренние.
Внешними называются силы, с которыми на тела рассматриваемой системы действуют тела, не входящие в эту систему сил.
Внутренними называются силы взаимодействия между телами рассматриваемой системы.
При рассмотрении равновесия сил, приложенных к системе тел, можно мысленно расчленить систему тел на отдельные твердые тела и к силам, действующим на эти тела, применить условия равновесия, полученные для одного тела. В эти условия равновесия войдут как внешние, так и внутренние силы системы тел. Внутренние силы на основании аксиомы о равенстве сил действия и противодействия в каждой точке сочленения двух тел образуют равновесную систему сил.
Покажем это на примере системы двух тел и плоской системы сил.
Если составить условия равновесия для каждого твердого тела системы тел, то для тела I 
.
для тела II 
Кроме того, из аксиомы о равенстве сил действия и противодействия для двух взаимодействующих тел имеем 
.
Представленные равенства и есть условия равновесия внешних сил, действующих на систему.
Реакция заделки.
Рассмотрим балку один конец которой АВ заделан в стену. Такое крепление конца балки АВ называется заделкой в точке В. Пусть на балку действует плоская система сил. Определим силы, которые надо приложить к точке В балки, если часть балки АВ отбросить. К сечению балки (В) приложены распределенные силы реакции. Если эти силы заменить элементарными сосредоточенными силами и затем привести их к точке В, то в точке В получим силу (главный вектор сил реакции) и пару сил с моментом М (главный вектор сил реакции относительно точки В) . Момент М называют моментом заделки или рективным моментом. Силу реакции можно заменить двумя составляющими и.
Заделка в отличие от шарнира создает не только неизвестную по величине и направлению реакцию , но еще и пару сил с неизвестным моментом М в заделке.
Описанный метод приведения одной силы к данной точке можно применить к какому угодно числу сил. Допустим, что в точках тела A,B,C и D (рис. 19) приложены силы 1 , 2 , 3 и 4 . Требуется привести эти силы к точке О плоскости. Приведем сначала силу 1 , приложенную в точке А. Приложим в точке О две силы ’ 1 и ’’ 1 , равные порознь по модулю заданной силе 1 , параллельные ей и направленные в противоположные стороны. В результате приведения силы 1 получим силу ’ 1 , приложенную в точке О , и пару сил 1 ’’ 1 (силы, образующие пару, отмечены черточками) с плечом а 1 . Поступив таким же образом с силой 2 ,приложенной в точке В , получим силу 2 , приложенную в точке О , и пару сил 2 ’’ 2 с плечом а 2 и т.д.
Плоскую систему сил, приложенных в точках А , В , С и D , мы заменили сходящимися силами ’ 1 , ’ 2 , ’ 3 и ’ 4 , приложенными в точке О , и парами сил с моментами, равными моментам заданных сил относительно точки О :
М 1 = Р 1 а 1 =М о ( 1); М 2 = Р 2 а 2 = М о ( 2);
М 3 = – Р 3 а 3 = М о ( 3); М 4 = – Р 4 а 4 = М о ( 4).
Сходящиеся в точке силы можно заменить одной силой " , равной геометрической сумме составляющих,
" = " 1 + " 2 + " 3 + " 4 = 1 + 2 + 3 + 4 = i . (16)
Эту силу, равную геометрической сумме заданных сил, называют главным вектором системы сил.
На основании правила сложения пар сил из можно заменить результирующей парой, момент которой равен алгебраической сумме моментов заданных сил относительно точки О :
М о = М 1 + М 2 + М 3 + М 4 = i = o ( i). (17)
По аналогии с главным вектором момент М 0 пары, равный алгебраической сумме моментов всех сил относительно центра приведения О , называют главным моментом системы относительно данного центра приведения О. Следовательно, в общем случае плоская система сил в результате приведения к данной точке О заменяется эквивалентной ей системой, состоящей из одной силы – главного вектора – и одной пары, момент которой называют главным моментом заданной системы сил относительно центра приведения.
Необходимо усвоить, что главный вектор ’ не является равнодействующей данной системы сил, так как эта система не эквивалентна одной силе ’. Только в частном случае, когда главный момент обращается в нуль, главный вектор будет равнодействующей данной системы сил. Так как главный вектор равен геометрической сумме сил данной системы, то ни модуль, ни направление его не зависят от выбора центра приведения. Величина и знак главного момента М 0 зависят от положения центра приведения, так как плечи составляющих пар зависят от взаимного положения сил и точки (центра), относительно которой берутся моменты.
Могут встретиться следующие случаи приведения системы сил:
1. " ≠ 0; М о ≠ 0 - общий случай; система приводится к главному вектору и к главному моменту.
2. " ≠ 0; М о = 0; система приводится к одной равнодействующей, равной главному вектору системы.
3. " = 0; М о ≠ 0; система приводится к паре сил, момент которой равен главному моменту.
4. " = 0; М о = 0; система находится в равновесии.
Можно доказать, что в общем случае, когда " ≠ 0 и М о ≠ 0, всегда есть точка, относительно которой главный момент системы сил равен нулю.
Рассмотрим плоскую систему сил, которая приведена к точке О , т.е. заменена главным вектором " ≠ 0 , приложенным в точке О , и главным моментом М о ≠ 0 (рис. 20).
Для определенности примем, что главный момент направлен по часовой стрелке, т.е. М о < 0. Изобразим этот главный момент парой сил "" , модуль которых выберем равным модулю главного вектора " , т.е. R = R ’’ = R ’ . Одну из сил, составляющих пару, – силу "" – приложим в центре приведения О , другую силу –– в некоторой точке С , положение которой определится из условия: М о = ОС*R. Следовательно,
ОС = . (18)
Расположим пару сил "" так, чтобы сила "" была направлена в сторону, противоположную главному вектору " . В точке О (рис. 20) имеем две равные взаимно противоположные силы " и "" , направленные по одной прямой; их можно отбросить (согласно третьей аксиоме). Следовательно, относительно точки С главный момент рассматриваемой системы сил равен нулю, и система приводится к равнодействующей .
§ 18. Теорема о моменте равнодействующей (теорема Вариньона)
В общем случае (см. § 17) произвольная плоская система сил приводится к главному вектору " и главному моменту М 0 относительно выбранного центра приведения, причем главный момент равен алгебраической сумме моментов заданных сил относительно точки О
М о = o ( i). (а)
Было показано, что можно выбрать центр приведения (на рис. 20 точка С ), относительно которого главный момент системы будет равен нулю, и система сил приведется к одной равнодействующей , равной по модулю главному вектору (R = R’ ). Определим момент равнодействующей относительно точки О . Учитывая, что плечо ОС силы равно , получаем
М о () = R*OC =R = М о. (б)
Две величины, порознь равные третьей, равны между собой, поэтому из уравнений (а) и (б) находим
М о () = o ( i). (19)
Полученное уравнение выражает теорему Вариньона: момент равнодействующей плоской системы сил относительно произвольно взятой точки равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно той же точки.
Из теоремы Вариньона следует, что главный момент плоской системы сил относительно любой точки, лежащей на линии действия ее равнодействующей, равен нулю.
