Скорость движения точки по прямой. Мгновенная скорость. Нахождение координаты по известной зависимости скорости по времени.

Скорость движения-движения точки по прямой или данной кривой линии приходится говорить как о длине пути, пройденного точкою в течение какого-либо промежутка времени, так и о перемещении ее в течение того же промежутка; эти величины могут и не быть одинаковы, если движение происходило то в одну, то в другую сторону по пути

МГНОВЕННАЯ СКОРОСТЬ ()

– векторная физическая величина, равная отношению перемещения Δ , совершенного частицей за очень малый промежуток времени Δt, к этому промежутку времени.

Под очень малым (или, как говорят, физически бесконечно малым) промежутком времени здесь понимается такой, на протяжении которого движение с достаточной точностью можно считать равномерным и прямолинейным.

В каждый момент времени мгновенная скорость направлена по касательной к траектории, по которой движется частица.

Ее единицей в СИ является метр в секунду (м/с).

Векторный и координатный способы движения точки. Скорость и ускорение .

Положение точки в пространстве можно задать двумя способами:

1) с помощью координат,

2) с помощью радиус-вектора.
В первом случае положение точки определяется на осях декартовой системы координат ОХ, OY, OZ, связанных с телом отсчета (рис. 3). Для этого из точки А необходимо опустить перпендикуляры на плоскость YZ (координата х), XZ (координата / у), XY (координата г) соответственно. Итак, положение точки можно определить записи А (х, у, г), а для случая, изображенного на рис. С (х = 6, у = 10, z - 4,5), точка А обозначается следующим образом: А (6, 10, 4,5).
Наоборот, если заданы конкретные значения координат точки в данной системе координат, то для изображения точки необходимо отложить значения координат на соответствующие оси и па трех взаимно перпендикулярных отрезках построить параллелепипед. Его вершина, противоположная началу координат О и размещена на диагонали параллелепипеда, и является точкой А.
Если точка движется в рамках какой-либо плоскости, то через выбранные па теле отсчет * в точке достаточно провести две координатные оси ОХ и OY.

Скорость- векторная величина, равная отношению перемещения тела ко времени, за которое это перемещение произошло. При неравномерном движении скорость тела изменяется с течением времени. При таком движении скорость определяется мгновенной скоростью тела. Мгновенная скорость- скорость тела в данный момент времени или в данной точке траектории.

Ускорение. При неравномерном движении скорость изменяется и по модулю и по направлению. Ускорение- это скорость изменения скорости. Оно равно отношению изменения скорости тела к промежутку времени, за которое это перемещение произошло.

Баллистическое движение. Равномерное движение материальной точки по окружности. Криволинейное движение точки в пространстве .

Равномерное движение по окружности.

Движение тела по окружности- криволинейное, при нем изменяется две координаты и направление движения. Мгновенная скорость тела в любой точке криволинейной траектории направлена по касательной к траектории в этой точке. Движение по любой криволинейной траектории можно представить как движение по дугам некоторых окружностей. Равномерное движение по окружности- движение с ускорением, хотя по модулю скорость не изменяется. Равномерное движение по окружности- периодическое движение.

Криволинейное баллистическое движение тела можно рассматривать как результат сложения двух прямолинейных движений: равномерного движения по оси х и равнопеременного движения по оси у .

Кинетическая энергия системы материальных точек, её связь с работой сил. Теорема Кенига .

Изменение кинетической энергии тела (материальной точки) за некоторый промежуток времени равно работе, совершенной за то же время силой, действующей на тело.

Кинетическая энергия системы есть энергия движения центра масс плюс энергия движения относительно центра масс:

,

где - полная кинетическая энергия, - энергия движения центра масс, - относительная кинетическая энергия.

Иными словами, полная кинетическая энергия тела или системы тел в сложном движении равна сумме энергии системы в поступательном движении и энергии системы во вращательном движении относительно центра масс.

Потенциальная энергия в поле центральных сил .

Центральным называют такое силовое поле, в котором потенциальная энергия частицы является функцией только от расстояния r до определенной точки- центра поля: U=U(r). Сила, действующая на частицу в таком поле, тоже зависит лишь от расстояния r и направлена в каждой точке пространства вдоль радиуса, проведенного в эту точку из центра поля.

Понятие момента сил и момента импульса, связь между ними. Закон сохранения момента импульса . Момент силы (синонимы: крутящий момент; вращательный момент; вращающий момент) - физическая величина, характеризующая вращательное действие силы на твёрдое тело.

В физике момент силы можно понимать как «вращающая сила». В системе СИ единицами измерения для момента силы является ньютон-метр, хотя сантиньютон-метр (cN m), футо-фунт (ft lbf), дюйм-фунт (lbf in) и дюйм-унция (ozf in) также часто используются для выражения момента силы. Символ момента силы τ (тау). Момент силы иногда называют моментом пары сил, это понятие возникло в трудах Архимеда над рычагами. Вращающиеся аналоги силы, массы и ускорения есть момент силы, момент инерции и угловое ускорение соответственно. Сила, приложенная к рычагу, умноженная на расстояние до оси рычага, есть момент силы. Например, сила в 3 ньютона, приложенная к рычагу, расстояние до оси которого 2 метра, это то же самое, что 1 ньютон, приложенный к рычагу, расстояние до оси которого 6 метров. Более точно, момент силы частицы определяется как векторное произведение:

где - сила, действующая на частицу, и r - радиус-вектор частицы.

Момент импульса (кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения) характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.

Следует учесть, что вращение здесь понимается в широком смысле, не только как регулярное вращение вокруг оси. Например, даже при прямолинейном движении тела мимо произвольной воображаемой точки, оно также обладает моментом импульса. Наибольшую роль момент импульса играет при описании собственно вращательного движения.

Момент импульса замкнутой системы сохраняется.

Момент импульса частицы относительно некоторого начала отсчета определяется векторным произведением ее радиус-вектора и импульса:

где - радиус-вектор частицы относительно выбранного начала отсчета, - импульс частицы.

В системе СИ момент импульса измеряется в единицах джоуль-секунда; Дж·с.

Из определения момента импульса следует его аддитивность. Так, для системы частиц выполняется выражение:

.

В рамках закона сохранения момента импульса консервативной величиной является угловой момент вращения массы - он не изменяется в отсутствие приложенного момента силы или крутящего момента - проекции вектора силы на плоскость вращения, перпендикулярно радиусу вращения, помноженной на рычаг (расстояние до оси вращения). Самый расхожий пример закона сохранения момента импульса - фигуристка, выполняющая фигуру вращения с ускорением. Спортсменка входит во вращение достаточно медленно, широко раскинув руки и ноги, а затем, по мере того, как она собирает массу своего тела всё ближе к оси вращения, прижимая конечности всё ближе к туловищу, скорость вращения многократно возрастает вследствие уменьшения момента инерции при сохранении момента вращения. Тут мы и убеждаемся наглядно, что чем меньше момент инерции, тем выше угловая скорость и, как следствие, короче период вращения, обратно пропорциональный ей.

Закон сохранения момента импульса: Момент импульса системы тел сохраняется, если результирующий момент внешних сил, действующих на систему, равен нулю:

.

Если результирующий момент внешних сил не равен нулю, но рана нулю проекция этого момента на некоторую ось, то проекция момента импульса системы на эту ось не изменяется.

Момент инерции. Теорема Гюйгенса-Штейнера. Момент инерции и кинетическая энергия вращения твердого тела вокруг неподвижной оси .

^ Момент инерции точки - величина, равная произведению массы m точки на квадрат ее кратчайшего расстояния r до оси (центра) вращения: J z = m r 2 , J = m r 2 , кг. м 2 .

Теорема Штейнера: Моментом инерции твердого тела относительно любой оси равен сумме момента инерции относительно оси проходящей через центр масс и произведению массы этого тела на квадрат расстояния между осями. I=I 0 +md 2 .Величина I, равная сумме произведений элементарных масс на квадраты их расстояния от некоторой оси, наз. моментом инерции тела относительно данной оси. I=m i R i 2 Суммирование производиться по всем элементарным массам на которые можно разбить тело.

Перейти к: навигация, поиск

Кинетическая энергия вращательного движения - энергия тела, связанная с его вращением.

Основные кинематические характеристики вращательного движения тела - его угловая скорость () и угловое ускорение. Основные динамические характеристики вращательного движения - момент импульса относительно оси вращения z:

и кинетическая энергия

где I z - момент инерции тела относительно оси вращения.

Похожий пример можно найти при рассмотрении вращающейся молекулы с главными осями инерции I 1 , I 2 и I 3 . Вращательная энергия такой молекулы задана выражением

где ω 1 , ω 2 , и ω 3 - главные компоненты угловой скорости.

В общем случае, энергия при вращении с угловой скоростью находится по формуле:

, где - тензор инерции

Инвариантность законов динамики в ИСО. Система отсчета движется поступательно и ускоренно. Система отсчета равномерно вращается. (Материальная точка покоится в НИСО, материальная точка движется в НИСО.). Теорема Кориолиса.

Си́ла Кориоли́са - одна из сил инерции, существующая в неинерциальной системе отсчёта из-за вращения и законов инерции, проявляющаяся при движении в направлении под углом к оси вращения. Названа по имени французского учёного Гюстава Гаспара Кориолиса, впервые её описавшего. Ускорение Кориолиса было получено Кориолисом в 1833 году, Гауссом в 1803 году и Эйлером в 1765 году.

Причина появления силы Кориолиса - в кориолисовом (поворотном) ускорении. В инерциальных системах отсчёта действует закон инерции, то есть, каждое тело стремится двигаться по прямой и с постоянной скоростью. Если рассмотреть движение тела, равномерное вдоль некоторого вращающегося радиуса и направленное от центра, то станет ясно, что чтобы оно осуществилось, требуется придавать телу ускорение, так как чем дальше от центра, тем должна быть больше касательная скорость вращения. Это значит, что с точки зрения вращающейся системы отсчёта, некая сила будет пытаться сместить тело с радиуса.

Для того, чтобы тело двигалось с кориолисовым ускорением, необходимо приложение силы к телу, равной , где - кориолисово ускорение. Соответственно, тело действует по третьему закону Ньютона с силой противоположной направленности. Сила, которая действует со стороны тела, и будет называться силой Кориолиса. Не следует путать Кориолисову силу с другой силой инерции - центробежной силой, которая направлена по радиусу вращающейся окружности.

Если вращение происходит по часовой стрелке, то двигающееся от центра вращения тело будет стремиться сойти с радиуса влево. Если вращение происходит против часовой стрелки - то вправо.

ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР

– система, совершающая гармонические колебания

Колебания, обычно,связаны с попеременным превращением энергии одной формы (вида) в энергию другой формы (другого вида). В механическом маятнике энергия превращается из кинетической в потенциальную. В электрических LC контурах(то есть индуктивно-емкостных контурах)энергия превращается из электрической энергии ёмкости (энергии электрического поля конденсатора) в магнитную энергию катушки индуктивности (энергию магнитного поля соленоида)

Примеры гармонических осцилляторов (физический маятник, математический маятник, крутильный маятник)

Физический маятник - осциллятор, представляющий собой твёрдое тело, совершающее колебания в поле каких-либо сил относительно точки, не являющейся центром масс этого тела, или неподвижной оси, перпендикулярной направлению действия сил и не проходящей через центр масс этого тела.

Математи́ческий ма́ятник - осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки, находящейся на невесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне в однородном поле сил тяготения [

Крути́льный ма́ятник (также торсио́нный ма́ятник , враща́тельный ма́ятник ) - механическая система, представляющая собой тело, подвешенное в поле тяжести на тонкой нити и обладающее лишь одной степенью свободы: вращением вокруг оси, задаваемой неподвижной нитью

Области применения

Капиллярный эффект используется в неразрушающем контроле (капиллярный контроль или контроль проникающими веществами) для выявления дефектов, имеющих выход на поверхность контролируемого изделия. Позволяет выявлять трещины с раскрытием от 1 мкм, которые не видны невооруженным глазом.

Когезия (от лат. cohaesus - связанный, сцепленный), сцепление молекул (ионов) физического тела под действием сил притяжения. Это силы межмолекулярного взаимодействия, водородной связи и (или) иной химической связи. Они определяют совокупность физических и физико-химических свойств вещества: агрегатное состояние, летучесть, растворимость, механические свойства и т. д. Интенсивность межмолекулярного и межатомного взаимодействия (а, следовательно, силы когезии) резко убывает с расстоянием. Наиболее сильна когезия в твердых телах и жидкостях, то есть в конденсированных фазах, где расстояние между молекулами (ионами) малы - порядка нескольких размеров молекул. В газах средние расстояния между молекулами велики по сравнению с их размерами, и поэтому когезия в них незначительна. Мерой интенсивности межмолекулярного взаимодействия служит плотность энергии когезии. Она эквивалентна работе удаления взаимно притягивающихся молекул на бесконечно большое расстояние друг от друга, что практически соответствует испарению или сублимации вещества

Адгезия (от лат. adhaesio - прилипание) в физике - сцепление поверхностей разнородных твёрдых и/или жидких тел. Адгезия обусловлена межмолекулярным взаимодействием (вандерваальсовым, полярным, иногда - образованием химических связей или взаимной диффузией) в поверхностном слое и характеризуется удельной работой, необходимой для разделения поверхностей. В некоторых случаях адгезия может оказаться сильнее, чем когезия, то есть сцепление внутри однородного материала, в таких случаях при приложении разрывающего усилия происходит когезионный разрыв, то есть разрыв в объёме менее прочного из соприкасающихся материалов.

Понятие потока жидкости (газа) и уравнение непрерывности. Вывод уравнения Бернулли.

В гидравлике потоком считают такое движение массы, когда эта масса ограничена:

1) твердыми поверхностями;

2) поверхностями, которые разделяют разные жидкости;

3) свободными поверхностями.

В зависимости от того, какого рода поверхностями или их сочетаниями ограничена движущаяся жидкость, различают следующие виды потоков:

1) безнапорные, когда поток ограничен сочетанием твердой и свободной поверхностей, например, река, канал, труба с неполным сечением;

2) напорные, например, труба с полным сечением;

3) гидравлические струи, которые ограничены жидкой (как мы увидим позже, такие струйки называют затопленными) или газовой средой.

Живое сечение и гидравлический радиус потока. Уравнение неразрывности в гидравлической форме

Уравнение Громеки подходит для описания движения жидкости, если компоненты функции движения содержат какуююто вихревую величину. Например, эта вихревая величина содержится в компонентах ωx, ωy,ωz угловой скорости w.

Условием того, что движение является установившимся, является отсутствие ускорения, то есть условие равенства нулю частных производных от всех компонентов скорости:

Если теперь сложить

то получим

Если проецировать перемещение на бесконечно малую величину dl на координатные оси, то получим:

dx = Uxdt; dy = Uy dt; dz = Uzdt. (3)

Теперь помножим каждое уравнение (3) соответственно на dx, dy, dz, и сложим их:

Предположив, что правая часть равна нулю, а это возможно, если вторая или третья строки равны нулю, получим:

Нами получено уравнение Бернулли

Анализ уравнения Бернулли

это уравнение есть не что иное, как уравнение линии тока при установившемся движении.

Отсюда следуют выводы:

1) если движение установившееся, то первая и третья строки в уравнении Бернулли пропорциональны.

2) пропорциональны строки 1 и 2, т. е.

Уравнение (2) является уравнением вихревой линии. Выводы из (2) аналогичны выводам из (1), только линии тока заменяют вихревые линии. Одним словом, в этом случае условие (2) выполняется для вихревых линий;

3) пропорциональны соответствующие члены строк 2 и 3, т. е.

где а – некоторая постоянная величина; если подставить (3) в (2), то получим уравнение линий тока (1), поскольку из (3) следует:

ω x = aUx; ω y = aUy; ω z = aUz. (4)

Здесь следует интересный вывод о том, что векторы линейной скорости и угловой скорости сонаправлены, то есть параллельны.

В более широком понимании надо представить себе следующее: так как рассматриваемое движение установившееся, то получается, что частицы жидкости движутся по спирали и их траектории по спирали образуют линии тока. Следовательно, линии тока и траектории частиц – одно и то же. Движение такого рода называют винтовым.

4) вторая строка определителя (точнее, члены второй строки) равна нулю, т. е.

ω x = ω y = ω z = 0. (5)

Но отсутствие угловой скорости равносильно отсутствию вихревости движения.

5) пусть строка 3 равна нулю, т. е.

Ux = Uy = Uz = 0.

Но это, как нам уже известно, условие равновесия жидкости.

Анализ уравнения Бернулли завершен.

Преобразование Галилея. Механический принцип относительности. Постулаты специальной (частной теории) относительности. Преобразование Лоренца и следствия из них.

Основным принципом, на котором базируется классическая механика является принцип относительности, сформулированный на основе эмпирических наблюдений Г. Галилеем. Согласно этому принципу существует бесконечно много систем отсчёта, в которых свободное тело покоится или движется с постоянной по модулю и направлению скоростью. Эти системы отсчёта называются инерциальными и движутся друг относительно друга равномерно и прямолинейно. Во всех инерциальных системах отсчёта свойства пространства и времени одинаковы, и все процессы в механических системах подчиняются одинаковым законам. Этот принцип можно также сформулировать как отсутствие абсолютных систем отсчёта, то есть систем отсчёта, каким-либо образом выделенных относительно других

При́нцип относи́тельности - фундаментальный физический принцип, согласно которому все физические процессы в инерциальных системах отсчёта протекают одинаково, независимо от того, неподвижна ли система или она находится в состоянии равномерного и прямолинейного движения.

Специальная теория относительности (СТО ; также частная теория относительности ) - теория, описывающая движение, законы механики и пространственно-временные отношения при произвольных скоростях движения, меньших скорости света в вакууме, в том числе близких к скорости света. В рамках специальной теории относительности классическая механика Ньютона является приближением низких скоростей. Обобщение СТО для гравитационных полей называется общей теорией относительности.

Описываемые специальной теорией относительности отклонения в протекании физических процессов от предсказаний классической механики называют релятивистскими эффектами , а скорости, при которых такие эффекты становятся существенными, - релятивистскими скоростями

Преобразова́ния Ло́ренца - линейные (или аффинные) преобразования векторного (соответственно, аффинного) псевдоевклидова пространства, сохраняющее длины или, что эквивалентно, скалярное произведение векторов.

Преобразования Лоренца псевдоевклидова пространства сигнатуры находят широкое применение в физике, в частности, в специальной теории относительности (СТО), где в качестве аффинного псевдоевклидова пространства выступает четырёхмерный пространственно-временной континуум (пространство Минковского

Явление переноса .

В газе, находящемся в неравновесном состоянии, возникают необратимые процессы, называемые явлениями переноса. В ходе этих процессов происходит пространственный перенос вещества (диффузия), энергии (теплопроводность), импульса направленного движения (вязкое трение). Если течение процесса не изменяется со временем, то такой процесс называется стационарным. В противном случае это нестационарный процесс. Стационарные процессы возможны только в стационарных внешних условиях. В термодинамически изолированной системе могут возникать только нестационарные явления переноса, направленные на установление равновесного состояния

Предмет и метод термодинамики. Основные понятия. Первый закон термодинамики .

Принцип построения термодинамики довольно прост. В ее основу положены три экспериментальных закона и уравнение состояния: первый закон (первое начало термодинамики) - закон сохранения и превращения энергии; второй закон (второе начало термодинамики) указывает направление, по кото­рому протекают естественные явления в природе; третий закон (третье начало термодинамики) утверждает, что абсолютный нуль температуры недо­стижимТермодинамика, в отличие от статистической физики, не рассматривает конкретные молекулярные картины. На основании опытных данных формулируются основные законы (принципы или начала). Эти законы и их следствия применяются к конкретным физическим явлениям, связанным с превращением энергии макроскопическим путем (без учета атомно-молекулярного строения), изучают свойства тел конкретных размеров. Термодинамический метод используется в физике, химии, ряде технических наук.

Термодинамика – учение о связи и взаимопревращениях различных видов энергии, теплоты и работы.

Понятие термодинамики произошло от греческих слов «термос» – теплота, жар; «динамикос» – сила, силовой.

Под телом в термодинамике понимают некоторую часть пространства, заполненную веществом. Форма тела, его цвет и другие свойства для термодинамики несущественны, следовательно, термодинамическое понятие тела отличается от геометрического.

Важную роль в термодинамике играет внутренняя энергия U.

U – сумма всех видов энергии, заключённых в изолированной системе (энергия теплового движения всех микрочастиц системы, энергия взаимодействия частиц, энергия электрических оболочек атомов и ионов, внутриядерная энергия и т.д.).

Внутренняя энергия является однозначной функцией состояния системы: её изменения DU при переходе системы из состояния 1 в 2 не зависит от вида процесса и равно ∆U = U 1 – U 2 . Если система совершает круговой процесс, то:

Полное изменение её внутренней энергии равно 0.

Внутренняя энергия U системы определяется её состоянием, т. е. U системы есть функция параметров состояния:

U = f(p,V,T) (1)

При не слишком высоких температурах, внутреннюю энергию идеального газа можно считать равной сумме молекулярно-кинетических энергий теплового движения его молекул. Внутренняя энергия гомогенной, а в первом приближении и гетерогенной систем является аддитивной величиной – равной сумме внутренних энергий всех её макроскопических частей (или фаз системы).

Адиабатный процесс. Уравнение Пуассона, адиабата. Политропный процесс, уравнение политропы .

Адиабатическим называется процесс, при котором отсутствует теплообмен

Адиабати́ческий , или адиаба́тный проце́сс (от др.-греч. ἀδιάβατος - «непроходимый») - термодинамический процесс в макроскопической системе, при котором система не обменивается тепловой энергией с окружающим пространством. Серьёзное исследование адиабатических процессов началось в XVIII веке .

Адиабатический процесс является частным случаем политропного процесса, так как при нём теплоёмкость газа равна нулю и, следовательно, постоянна . Адиабатические процессы обратимы только тогда, когда в каждый момент времени система остаётся равновесной (например, изменение состояния происходит достаточно медленно) и изменения энтропии не происходит. Некоторые авторы (в частности, Л. Д. Ландау) называли адиабатическими только квазистатические адиабатические процессы .

Адиабатический процесс для идеального газа описывается уравнением Пуассона. Линия, изображающая адиабатный процесс на термодинамической диаграмме, называется адиабатой . Адиабатическими можно считать процессы в целом ряде явлений природы. Уравне́ние Пуассо́на - эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных, которое, среди прочего, описывает

• электростатическое поле,
• стационарное поле температуры,
• поле давления,
• поле потенциала скорости в гидродинамике.

Оно названо в честь знаменитого французского физика и математика Симеона Дени Пуассона.

Это уравнение имеет вид:

где - оператор Лапласа или лапласиан, а - вещественная или комплексная функция на некотором многообразии.

В трёхмерной декартовой системе координат уравнение принимает форму:

В декартовой системе координат оператор Лапласа записывается в форме и уравнение Пуассона принимает вид:

Если f стремится к нулю, то уравнение Пуассона превращается в уравнение Лапласа (уравнение Лапласа - частный случай уравнения Пуассона):

Уравнение Пуассона может быть решено с использованием функции Грина; см., например, статью экранированное уравнение Пуассона. Есть различные методы для получения численных решений. Например, используется итерационный алгоритм - «релаксационный метод».

Так же такие процессы получили ряд применений в технике.

Политропный процесс , политропический процесс - термодинамический процесс, во время которого удельная теплоёмкость газа остаётся неизменной.

В соответствии с сущностью понятия теплоёмкости , предельными частными явлениями политропного процесса являются изотермический процесс () и адиабатный процесс ().

В случае идеального газа, изобарный процесс и изохорный процесс также являются политропными ?

Уравнение политропы. Рассмотренные выше изохорический, изобарический, изотермический и адиабатический процессы обладают одним общим свойством - имеют постоянную теплоемкость.

Идеальная тепловая машина и цикл Карно. К.П.Д. идеальной тепловой машины. Содержание второго закона К.П.Д. реальной тепловой машины .

Цикл Карно является идеальным термодинамическим циклом. Тепловая машина Карно , работающая по этому циклу, обладает максимальным КПД из всех машин, у которых максимальная и минимальная температуры осуществляемого цикла совпадают соответственно с максимальной и минимальной температурами цикла Карно .

Максимальное КПД достигается при обратимом цикле . Для того, чтобы цикл был обратимым, из него должна быть исключена передача тепла при наличии разности температур. Чтобы доказать этот факт, предположим, что передача тепла при разности температур имеет место. Данная передача происходит от более горячего тела к более холодному. Если предположить процесс обратимым, то это означало бы возможность передачи тепла обратно от более холодного тела к более нагретому, что невозможно, следовательно процесс необратим . Соответственно, преобразование тепла в работу может происходить только изотермически [Комм 4] . При этом обратный переход двигателя в начальную точку только путём изотермического процесса невозможен, так как в этом случае вся полученная работа будет затрачена на восстановление исходного положения. Так как выше было показано, что адиабатический процесс может быть обратимым - то этот вид адиабатического процесса подходит для использования в цикле Карно.

Всего при цикле Карно происходят два адиабатических процесса :

1. Адиабатическое (изоэнтропическое) расширение (на рисунке - процесс 2→3). Рабочее тело отсоединяется от нагревателя и продолжает расширяться без теплообмена с окружающей средой. При этом его температура уменьшается до температуры холодильника.

2. Адиабатическое (изоэнтропическое) сжатие (на рисунке - процесс 4→1). Рабочее тело отсоединяется от холодильника и сжимается без теплообмена с окружающей средой. При этом его температура увеличивается до температуры нагревателя.

Граничные условия Еn и Еt.

В проводящем теле, находящемся в электростатическом поле, все точки тела имеют одинаковый потенциал, поверхность проводящего тела является эквипотенциальной поверхностью и линии напряженности поля в диэлектрике нормальны к ней. Обозначив через Е n и Е t нормальную и касательную к поверхности проводника, составляющие вектора напряженности поля в диэлектрике около поверхности проводника, указанные условия можно записать в виде:

Е t = 0; Е = Е n = -¶U/¶n; D = -e*¶U/¶n = s,

где s – поверхностная плотность электрического заряда на поверхности проводника.

Таким образом, на границе раздела проводящего тела и диэлектрика отсутствует касательная к поверхности (тангенциальная) составляющая напряженности электрического поля, а вектор электрического смещения в любой точке, непосредственно примыкающей к поверхности проводящего тела численно равен плотности электрического заряда s на поверхности проводника

Теорема Клаузиуса, неравенство Клаузиуса. Энтропия, её физический смысл. Изменение энтропии при необратимых процессов. Основное уравнение термодинамики .

сумма приведенных теплот при переходе из одного состояния в другое не зависит от формы (пути) перехода в случае обратимых процессов. Последнее утверждение носит название теоремы Клаузиуса.

Рассматривая процессы превращения тепла в работу, Р. Клаузиус сформулировал термодинамическое неравенство, носящее его имя.

«Приведенное количество тепла, полученное системой в ходе произвольного кругового процесса, не может быть больше нуля»

где dQ – количество тепла, полученного системой при температуре Т, dQ 1 - количество тепла, получаемое системой от участков окружающей среды с температурой Т 1 , dQ ¢ 2 – количество тепла, отдаваемое системой участкам окружающей среды при температуре Т 2 . Неравенство Клаузиуса позволяет установить верхний предел термического К.П.Д. при переменных температурах нагревателя и холодильника.

Из выражения для обратимого цикла Карно следует, что или , т.е. для обратимого цикла неравенство Клаузиуса переходит в равенство. Это означает, что приведенное количество тепла, полученного системой в ходе обратимого процесса, не зависит от вида процесса, а определяется только начальным и конечным состояниями системы. Поэтому приведенное количество тепла, полученное системой в ходе обратимого процесса, служит мерой изменения функции состояния системы, называемой энтропией .

Энтропия системы – функция ее состояния, определенная с точностью до произвольной постоянной. Приращение энтропии равно приведенному количеству тепла, которое нужно сообщить системе, чтобы перевести ее из начального состояния в конечное по любому обратимому процессу.

, .

Важной особенностью энтропии является ее возрастание в изолированных с

Способы задания движения точки.

Задать движение точки – это значит указать правило, по которому в любой момент времени можно определить её положение в заданной системе отсчёта.

Математическое выражение этого правила называется законом движения , или уравнением движения точки.

Существует три способа задания движения точки:

векторный ;

координатный ;

естественный .

Чтобы задать движение векторным способом , нужно:

à выбрать неподвижный центр;

à положение точки определить с помощью радиус-вектора , начинающегося в неподвижном центре и заканчивающемся в движущейся точке М;

à определить этот радиус-вектор как функцию от времени t: .

Выражение

называется векторным законом движения точки, или векторным уравнением движения .

!! Радиус-вектор – это расстояние (модуль вектора) + направление от центра О на точку М, которое можно определять разными способами, например, углами с заданными направлениями.

Чтобы задать движение координатным способом , нужно:

à выбрать и зафиксировать систему координат (любую: декартову, полярную, сферическую, цилиндрическую и проч.);

à определить положение точки с помощью соответствующих координат;

à задать эти координаты, как функции от времени t.

В декартовой системе координат, таким образом, надо указать функции

В полярной системе координат следует определить как функции от времени полярный радиус и полярный угол:

В общем, при координатном способе задания следует задавать как функции от времени те координаты, с помощью которых определяется текущее положение точки.

Чтобы можно было задавать движение точки естественным способом , нужно знать её траекторию . Запишем определение траектории точки.

Траекторией точки называется множество её положений за какой-либо промежуток времени (обычно – от 0 до +¥).

В примере с катящимся по дороге колесом траекторией точки 1 является циклоида , а точки 2 – рулетта ; в системе отсчёта, связанной с центром колеса, траектории обеих точек – окружности .

Чтобы задать движение точки естественным способом, нужно:

à знать траекторию точки;

à на траектории выбрать начало отсчёта и положительное направление;

à определить текущее положение точки длиной дуги траектории от начала отсчёта до этого текущего положения;

à указать эту длину как функцию от времени.

Выражение, определяющее указанную выше функцию,

называют законом движения точки по траектории , или естественным уравнением движения точки.

В зависимости от вида функции (4) точка по траектории может двигаться различным образом.

3. Траектория точки и её определение.

Определение понятия «траектория точки» был дано ранее в вопросе 2. Рассмотрим вопрос об определении траектории точки при разных способах задания движения.

Естественный способ : траектория должна быть задана, так что находить её не надо.

Векторный способ : нужно перейти к координатному способу согласно равенствам

Координатный способ : нужно из уравнений движения (2), или (3) исключить время t.

Координатные уравнения движения задают траекторию параметрически , через параметр t (время). Для получения явного уравнения кривой надо параметр исключить из уравнений.

После исключения времени из уравнений (2) получаются два уравнения цилиндрических поверхностей, например, в виде

Пересечение этих поверхностей и будет траекторией точки.

При движении точки по плоскости задача упрощается: после исключения времени из двух уравнений

уравнение траектории получится в одной из следующих форм:

При будет , поэтому траекторией точки будет правая ветвь параболы:

Из уравнений движения следует, что

поэтому траекторией точки будет часть параболы, расположенная в правой полуплоскости:

Тогда получим

Так как то весь эллипс будет траекторией точки.

При центр эллипса будет в начале координат О; при получим окружность; параметр k на форму эллипса не влияет, от него зависит скорость движения точки по эллипсу. Если в уравнениях поменять местами cos и sin, то траектория не изменится (тот же эллипс), но изменится начальное положение точки и направление движения.

Скорость точки характеризует «быстроту» изменения её положения. Формально: скорость – перемещение точки за единицу времени .

Точное определение.

Тогда Отношение

И зачем она нужна. Мы уже знаем, что такое система отсчета, относительность движения и материальная точка. Что ж, пора двигаться дальше! Здесь мы рассмотрим основные понятия кинематики, соберем вместе самые полезные формулы по основам кинематики и приведем практический пример решения задачи.

Решим такую задачу: точка движется по окружности радиусом 4 метра. Закон ее движения выражается уравнением S=A+Bt^2. А=8м, В=-2м/с^2. В какой момент времени нормальное ускорение точки равно 9 м/с^2? Найти скорость, тангенциальное и полное ускорение точки для этого момента времени.

Решение: мы знаем, что для того, чтобы найти скорость нужно взять первую производную по времени от закона движения, а нормальное ускорение равняется частному квадрата скорости и радиуса окружности, по которой точка движется. Вооружившись этими знаниями, найдем искомые величины.

Нужна помощь в решении задач? Профессиональный студенческий сервис готов оказать ее.

1.2. Прямолинейное движение

1.2.4. Средняя скорость

Материальная точка (тело) сохраняет свою скорость неизменной только при равномерном прямолинейном движении. Если движение является неравномерным (в том числе и равнопеременным), то скорость тела изменяется. Такое движение характеризуют средней скоростью. Различают среднюю скорость перемещения и среднюю путевую скорость.

Средняя скорость перемещения является векторной физической величиной, которую определяют по формуле

v → r = Δ r → Δ t ,

где Δ r → - вектор перемещения; ∆t - интервал времени, за которое это перемещение произошло.

Средняя путевая скорость является скалярной физической величиной и вычисляется по формуле

v s = S общ t общ,

где S общ = S 1 + S 1 + ... + S n ; t общ = t 1 + t 2 + ... + t N .

Здесь S 1 = v 1 t 1 - первый участок пути; v 1 - скорость прохождения первого участка пути (рис. 1.18); t 1 - время движения на первом участке пути и т.п.

Рис. 1.18

Пример 7. Одну четверть пути автобус движется со скоростью 36 км/ч, вторую четверть пути - 54 км/ч, оставшийся путь - со скоростью 72 км/ч. Рассчитать среднюю путевую скорость автобуса.

Решение. Общий путь, пройденный автобусом, обозначим S :

S общ = S .

S 1 = S /4 - путь, пройденный автобусом на первом участке,

S 2 = S /4 - путь, пройденный автобусом на втором участке,

S 3 = S /2 - путь, пройденный автобусом на третьем участке.

Время движения автобуса определяется формулами:

• на первом участке (S 1 = S /4) -

  t 1 = S 1 v 1 = S 4 v 1 ;

• на втором участке (S 2 = S /4) -

  t 2 = S 2 v 2 = S 4 v 2 ;

• на третьем участке (S 3 = S /2) -

  t 3 = S 3 v 3 = S 2 v 3 .

Общее время движения автобуса составляет:

t общ = t 1 + t 2 + t 3 = S 4 v 1 + S 4 v 2 + S 2 v 3 = S (1 4 v 1 + 1 4 v 2 + 1 2 v 3) .

v s = S общ t общ = S S (1 4 v 1 + 1 4 v 2 + 1 2 v 3) =

1 (1 4 v 1 + 1 4 v 2 + 1 2 v 3) = 4 v 1 v 2 v 3 v 2 v 3 + v 1 v 3 + 2 v 1 v 2 .

v s = 4 ⋅ 36 ⋅ 54 ⋅ 72 54 ⋅ 72 + 36 ⋅ 72 + 2 ⋅ 36 ⋅ 54 = 54 км/ч.

Пример 8. Пятую часть времени городской автобус тратит на остановки, остальное время он движется со скоростью 36 км/ч. Определить среднюю путевую скорость автобуса.

Решение. Общее время движения автобуса на маршруте обозначим t :

t общ = t .

t 1 = t /5 - время, затраченное на остановки,

t 2 = 4t /5 - время движения автобуса.

Путь, пройденный автобусом:

• за время t 1 = t /5 -

  S 1 = v 1 t 1 = 0,

так как скорость автобуса v 1 на данном временном интервале равна нулю (v 1 = 0);

• за время t 2 = 4t /5 -

  S 2 = v 2 t 2 = v 2 4 t 5 = 4 5 v 2 t ,

  где v 2 - скорость автобуса на данном временном интервале (v 2 = = 36 км/ч).

Общий путь автобуса составляет:

S общ = S 1 + S 2 = 0 + 4 5 v 2 t = 4 5 v 2 t .

Вычисление средней путевой скорости автобуса произведем по формуле

v s = S общ t общ = 4 5 v 2 t t = 4 5 v 2 .

Расчет дает значение средней путевой скорости:

v s = 4 5 ⋅ 36 = 30 км/ч.

Пример 9. Уравнение движения материальной точки имеет вид x (t ) = (9,0 − 6,0t + 2,0t 2) м, где координата задана в метрах, время - в секундах. Определить среднюю путевую скорость и величину средней скорости перемещения материальной точки за первые три секунды движения.

Решение. Для определения средней скорости перемещения необходимо рассчитать перемещение материальной точки. Модуль перемещения материальной точки в интервале времени от t 1 = 0 с до t 2 = 3,0 с вычислим как разность координат:

| Δ r → | = | x (t 2) − x (t 1) | ,

Подстановка значений в формулу для вычисления модуля перемещения дает:

| Δ r → | = | x (t 2) − x (t 1) | = 9,0 − 9,0 = 0 м.

Таким образом, перемещение материальной точки равно нулю. Следовательно, модуль средней скорости перемещения также равен нулю:

| v → r | = | Δ r → | t 2 − t 1 = 0 3,0 − 0 = 0 м/с.

Для определения средней путевой скорости нужно рассчитать путь, пройденный материальной точкой за интервал времени от t 1 = 0 с до t 2 = 3,0 с. Движение точки является равнозамедленным, поэтому необходимо выяснить, попадает ли точка остановки в указанный интервал.

Для этого запишем закон изменения скорости материальной точки с течением времени в виде:

v x = v 0 x + a x t = − 6,0 + 4,0 t ,

где v 0 x = −6,0 м/с - проекция начальной скорости на ось Ox ; a x = = 4,0 м/с 2 - проекция ускорения на указанную ось.

Найдем точку остановки из условия

v (τ ост) = 0,

т.е.

τ ост = v 0 a = 6,0 4,0 = 1,5 с.

Точка остановки попадает во временной интервал от t 1 = 0 с до t 2 = 3,0 с. Таким образом, пройденный путь вычислим по формуле

S = S 1 + S 2 ,

где S 1 = | x (τ ост) − x (t 1) | - путь, пройденный материальной точкой до остановки, т.е. за время от t 1 = 0 с до τ ост = 1,5 с; S 2 = | x (t 2) − x (τ ост) | - путь, пройденный материальной точкой после остановки, т.е. за время от τ ост = 1,5 с до t 1 = 3,0 с.

Рассчитаем значения координат в указанные моменты времени:

x (t 1) = 9,0 − 6,0 t 1 + 2,0 t 1 2 = 9,0 − 6,0 ⋅ 0 + 2,0 ⋅ 0 2 = 9,0 м;

x (τ ост) = 9,0 − 6,0 τ ост + 2,0 τ ост 2 = 9,0 − 6,0 ⋅ 1,5 + 2,0 ⋅ (1,5) 2 = 4,5 м;

x (t 2) = 9,0 − 6,0 t 2 + 2,0 t 2 2 = 9,0 − 6,0 ⋅ 3,0 + 2,0 ⋅ (3,0) 2 = 9,0 м.

Значения координат позволяют вычислить пути S 1 и S 2:

S 1 = | x (τ ост) − x (t 1) | = | 4,5 − 9,0 | = 4,5 м;

S 2 = | x (t 2) − x (τ ост) | = | 9,0 − 4,5 | = 4,5 м,

а также суммарный пройденный путь:

S = S 1 + S 2 = 4,5 + 4,5 = 9,0 м.

Следовательно, искомое значение средней путевой скорости материальной точки равно

v s = S t 2 − t 1 = 9,0 3,0 − 0 = 3,0 м/с.

Пример 10. График зависимости проекции скорости материальной точки от времени представляет собой прямую линию и проходит через точки (0; 8,0) и (12; 0), где скорость задана в метрах в секунду, время - в секундах. Во сколько раз средняя путевая скорость за 16 с движения превышает величину средней скорости перемещения за то же время?

Решение. График зависимости проекции скорости тела от времени показан на рисунке.

Для графического вычисления пути, пройденного материальной точкой, и модуля ее перемещения необходимо определить значение проекции скорости в момент времени, равный 16 с.

Существует два способа определения значения v x в указанный момент времени: аналитический (через уравнение прямой) и графический (через подобие треугольников). Для нахождения v x воспользуемся первым способом и составим уравнение прямой по двум точкам:

t − t 1 t 2 − t 1 = v x − v x 1 v x 2 − v x 1 ,

где (t 1 ; v x 1) - координаты первой точки; (t 2 ; v x 2) - координаты второй точки. По условию задачи: t 1 = 0, v x 1 = 8,0, t 2 = 12, v x 2 = 0. С учетом конкретных значений координат данное уравнение принимает вид:

t − 0 12 − 0 = v x − 8,0 0 − 8,0 ,

v x = 8,0 − 2 3 t .

При t = 16 с значение проекции скорости составляет

| v x | = 8 3 м/с.

Данное значение можно получить также из подобия треугольников.

• Вычислим путь, пройденный материальной точкой, как сумму величин S 1 и S 2:

  S = S 1 + S 2 ,

  где S 1 = 1 2 ⋅ 8,0 ⋅ 12 = 48 м - путь, пройденный материальной точкой за интервал времени от 0 с до 12 с; S 2 = 1 2 ⋅ (16 − 12) ⋅ | v x | = 1 2 ⋅ 4,0 ⋅ 8 3 = = 16 3 м - путь, пройденный материальной точкой за интервал времени от 12 с до 16 с.

Суммарный пройденный путь составляет

S = S 1 + S 2 = 48 + 16 3 = 160 3 м.

Средняя путевая скорость материальной точки равна

v s = S t 2 − t 1 = 160 3 ⋅ 16 = 10 3 м/с.

• Вычислим значение перемещения материальной точки как модуль разности величин S 1 и S 2:

  S = | S 1 − S 2 | = | 48 − 16 3 | = 128 3 м.

Величина средней скорости перемещения составляет

| v → r | = | Δ r → | t 2 − t 1 = 128 3 ⋅ 16 = 8 3 м/с.

Искомое отношение скоростей равно

v s | v → r | = 10 3 ⋅ 3 8 = 10 8 = 1,25 .

Средняя путевая скорость материальной точки в 1,25 раза превышает модуль средней скорости перемещения.

Скоростью точки называется вектор, определяющий в каждый данный момент времени быстроту и направление движения точки.

Скорость равномерного движения определяется отношением пути, пройденного точкой за некоторый промежуток времени, к величине этого промежутка времени.

Скорость; S- путь; t- время.

Измеряется скорость в единицах длины, деленных на единицу времени: м/с; см/с; км/ч и т.д.

В случае прямолинейного движения вектор скорости направлен вдоль траектории в сторону ее движения.

Если точка за равные промежутки времени проходит неравные пути, то данное движение называется неравномерным. Скорость является величиной переменной и является функцией времени.

Средней за данный промежуток времени скоростью точки называется скорость такого равномерного прямолинейного движения, при котором точка за этот промежуток времени получила бы то же самое перемещение, как и в рассматриваемом ее движении.

Рассмотрим точку М, которая перемещается по криволинейной траектории, заданной законом

За промежуток времени?t точка М переместится в положение М 1 по дуге ММ 1 .Если промежуток времени?t мал, то дугу ММ 1 можно заменить хордой и в первом приближении найти среднюю скорость движения точки

Эта скорость направлена по хорде от точки М к точке М 1 . Истинную скорость найдем путем перехода к пределу при?t> 0

Когда?t> 0, направление хорды в пределе совпадает c направлением касательной к траектории в точке М.

Таким образом, величина скорости точки определяется как предел отношения приращения пути к соответствующему промежутку времени при стремлении последнего к нулю. Направление скорости совпадает с касательной к траектории в данной точке.

Ускорение точки

Отметим, что в общем случае, при движении по криволинейной траектории скорость точки изменяется и по направлению и по величине. Изменение скорости в единицу времени определяется ускорением. Другими словами, ускорением точки называется величина, характеризующая быстроту изменения скорости во времени. Если за интервал времени?t скорость изменяется на величину,то среднее ускорение

Истинным ускорением точки в данный момент времени t называется величина, к которой стремится среднее ускорение при?t> 0, то есть

При отрезке времени стремящимся к нулю вектор ускорения будет меняться и по величине и по направлению, стремясь к своему пределу.

Размерность ускорения

Ускорение может выражаться в м/с 2 ; см/с 2 и т.д.

В общем случае, когда движение точки задано естественным способом, вектор ускорения обычно раскладывают на две составляющие, направленные по касательной и по нормали к траектории точки.

Тогда ускорение точки в момент t можно представить так

Обозначим составляющие пределы через и.

Направление вектора не зависит от величины промежутка?t времени.

Это ускорение всегда совпадает с направлением скорости, то есть, направлено по касательной к траектории движения точки и поэтому называется касательным или тангенциальным ускорением.

Вторая составляющая ускорения точки направлена перпендикулярно к касательной к траектории в данной точке в сторону вогнутости кривой и влияет на изменение направления вектора скорости. Эта составляющая ускорения носит название нормального ускорения.

Поскольку численное значение вектора равно приращению скорости точки за рассматриваемый промежуток?t времени, то численное значение касательного ускорения

Численное значение касательного ускорения точки равно производной по времени от численной величины скорости. Численное значение нормального ускорения точки равно квадрату скорости точки, деленному на радиус кривизны траектории в соответствующей точке кривой

Полное ускорение при неравномерном криволинейном движении точки складывается геометрически из касательного и нормального ускорений.