Из всех случайных величин проще всего разыгрывать (моделировать) равномерно распределенную величину . Рассмотрим, как это делается.

Возьмем какое-то устройство, на выходе которого с вероятностью могут появляться цифры 0 или 1; появление той или другой цифры должно быть случайным. Таким устройством может быть бросаемая монета, игральная кость (четно - 0, нечетно - 1) или специальный генератор, основанный на подсчете числа радиоактивных распадов или всплесков радиошума за определенное время (четно или нечетно).

Запишем у как двоичную дробь и на место последовательных разрядов будем ставить цифры, выдаваемые генератором: например, . Поскольку в первом разряде с равной вероятностью могут стоять 0 или 1, это число с равной вероятностью лежит в левой или правой половине отрезка . Поскольку во втором разряде тоже 0 и 1 равновероятны, число с равной вероятностью лежит в каждой половине этих половин и т. д. Значит, двоичная дробь со случайными цифрами действительно с равной вероятностью принимает любое значение на отрезке

Строго говоря, разыграть можно только конечное количество разрядов k. Поэтому распределение будет не вполне требуемым; математическое ожидание окажется меньше 1/2 на величину (ибо значение возможно, а значение невозможно). Чтобы этот фактор не сказывался, следует брать многоразрядные числа; правда, в методе статистических испытаний точность ответа обычно не бывает выше 0,1% -103, а условие дает что на современных ЭВМ перевыполнено с большим запасом.

Псевдослучайные числа. Реальные генераторы случайных чисел не свободны от систематических ошибок: несимметричность монеты, дрейф нуля и т. д. Поэтому качество выдаваемых ими чисел проверяют специальными тестами. Простейший тест - вычисление для каждого разряда частоты появления нуля; если частота заметно отлична от 1/2, то имеется систематическая ошибка, а если она слишком близка к 1/2, то числа не случайные - есть какая-то закономерность. Более сложные тесты - это вычисление коэффициентов корреляции последовательных чисел

или групп разрядов внутри числа; эти коэффициенты должны быть близкими к нулю.

Если какая-то последовательность чисел удовлетворяет этим тестам, то ее можно использовать в расчетах по методу статистических испытаний, не интересуясь ее происхождением.

Разработаны алгоритмы построения таких последовательностей; символически их записывают рекуррентными формулами

Такие числа называют псевдослучайными и вычисляют на ЭВМ. Это обычно удобнее, чем использование специальных генераторов. Но для каждого алгоритма есть свое предельное число членов последовательности, которое можно использовать в расчетах; при большем числе членов теряется случайный характер чисел, например - обнаруживается периодичность.

Первый алгоритм получения псевдослучайных чисел был предложен Нейманом. Возьмем число из цифр (для определенности десятичных) и возведем его в квадрат. У квадрата оставим средних цифр, откинув последних и (или ) первых. Полученное число снова возведем в квадрат и т. д. Значения получаются умножением этих чисел на Например, положим и выберем начальное число 46; тогда получим

Но распределение чисел Неймана недостаточно равномерно (преобладают значения что хорошо видно на приведенном примере), и сейчас их редко употребляют.

Наиболее употребителен сейчас несложный и неплохой алгоритм, связанный с выделением дробной части произведения

где А - очень большая константа (фигурная скобка обозначает дробную часть числа). Качество псевдослучайных чисел сильно зависит от выбора величины А: это число в двоичной записи должно иметь достаточно «случайный» хотя его последний разряд следует брать единицей. Величина слабо влияет на качество последовательности, но было отмечено, что некоторые значения оказываются неудачными.

При помощи экспериментов и теоретического анализа исследованы и рекомендуются такие значения: для БЭСМ-4; для БЭСМ-6. Для некоторых американских ЭВМ рекомендуются и эти цифры связаны с количеством разрядов в мантиссе и порядке числа, поэтому для каждого типа ЭВМ они свои.

Замечание 1. В принципе формулы типа (54) могут давать очень длинные хорошие последовательности, если записывать их в нерекуррентном виде и все умножения выполнять без округления. Обычное округление на ЭВМ ухудшает качество псевдослучайных чисел, но тем не менее до членов последовательности обычно годятся.

Замечание 2. Качество последовательности улучшается, если ввести в алгоритм (54) небольшие случайные возмущения; например, после нормализации числа полезно засылать в последние двоичные разряды его мантиссы двоичный порядок числа

Строго говоря, закономерность псевдослучайных чисел должна быть незаметна по отношению к требуемому частному применению. Поэтому в несложных или удачно сформулированных задачах можно использовать последовательности не очень хорошего качества, но при этом необходимы специальные проверки.

Произвольное распределение. Для разыгрывания случайной величины с неравномерным распределением можно воспользоваться формулой (52). Разыграем у и определим из равенства

Если интеграл берется в конечном виде и формула несложна, то это наиболее удобный способ. Для некоторых важных распределений - Гаусса, Пуассона - соответствующие интегралы не берутся и разработаны специальные способы разыгрывания.

Метод обратных функций

Пусть требуется разыграть непрерывную случай­ную величину X , т. е. получить последовательность ее возможных значений x i (i = 1,2, ...), зная функцию распределения F (х ).

Теорема. Если r i ,-случайное число, то возможное зна­чение x i разыгрываемой непрерывной случайной величины Х с заданной функцией распределения F (х ), соответствующее r i , является корнем уравнения

F (х i )= r i . (»)

Доказательство. Пусть выбрано случайное число r i (0≤r i <1). Так как в интервале всех возможных зна­чений Х функция распределения F (х ) монотонно возра­стает от 0 до 1, то в этом интервале существует, причем только одно, такое значение аргумента х i , при котором функция распределения примет значение r i . Другими словами, уравнение (*) имеет единственное решение

х i = F - 1 (r i ),

где F - 1 - функция, обратная функции у= F (х ).

Докажем теперь, что корень х i уравнения (*) есть возможное значение такой непрерывной случайной вели­чины (временно обозначим ее через ξ , а потом убедимся, что ξ=Х ). С этой целью докажем, что вероятность попа­дания ξ в интервал, например (с, d ), принадлежащий интервалу всех возможных значений X , равна прираще­нию функции распределения F (х ) на этом интервале:

Р (с< ξ < d )= F (d )- F (с ).

Действительно, так как F (х )- монотонно возрастаю­щая функция в интервале всех возможных значений X, то в этом интервале большим значениям аргумента соот­ветствуют большие значения функции, и обратно. Поэтому, если с <х i < d , то F (c )< r i < F (d ), и обратно [учтено, что в силу (*) F (х i )=r i ].

Из этих неравенств следует, чтоесли случайная величина ξ заключена в интервале

с< ξ < d , ξ (**)

то случайная величина R заключена в интервале

F (с )< R < F (d ), (***)

и обратно. Таким образом, неравенства(**) и (***) рав­носильны, а, значит, и равновероятны:

Р (с < ξ< d )=Р [F (с )< R < F (d )]. (****)

Так как величина R распределена равномерно в ин­тервале (0,1), то вероятность попадания R в некоторый интервал, принадлежащий интервалу (0,1), равна его длине (см. гл. XI, § 6, замечание). В частности,

Р [F (с )< R < F (d ) ] = F (d ) - F (с ).

Следовательно, соотношение (****) можно записать в виде

Р (с < ξ< d )= F (d ) - F (с ).

Итак, вероятность попадания ξ в интервал (с, d ) равна приращению функции распределения F (х ) на этом интер­вале, а это означает, что ξ=Х. Другими словами, числа х i , определяемые формулой (*), есть возможные значения величины Х с заданной функцией распределения F (х ), что и требовалось доказать.

Правило 1. х i , непрерывной случайной величины X, зная ее функцию распределения F (х ), надо выбрать случайное число r i приравнять его функции распределения и решить отно­сительно х i , полученное уравнение

F (х i )= r i .

Замечание 1. Если решить это уравнение в явном видене удается, то прибегают к графическим или численным методам.

Пример I. Разыграть 3 возможных значения непрерывной слу­чайной величины X, распределенной равномерно в интервале (2, 10).

Решение. Напишем функцию распределения величины X, рас­пределенной равномерно в интервале (а, b ) (см. гл. XI, § 3, пример):

F (х )= (х-а )/ (b -а ).

По условию, а = 2, b =10, следовательно,

F (х )= (х- 2)/ 8.

Используя правило настоящего параграфа, напишем уравнение для отыскания возможных значений х i , для чего приравняем функцию распределения случайному числу:

(х i -2 )/8= r i .

Отсюда х i =8 r i + 2.

Выберем 3 случайных числа, например, r i =0,11, r i =0,17, r i =0,66. Подставим эти числа в уравнение, разрешенное относительно х i , в итоге получим соответствующие возможные значенияX : х 1 =8·0,11+2==2,88; х 2 =1.36; х 3 = 7,28.

Пример 2. Непрерывная случайная величина Х распределенапопоказательному закону, заданному функцией распределения (параметр λ > 0 известен)

F (х )= 1 - е - λ х (х>0 ).

Требуется найти явную формулу для разыгрывания возможных зна­чений X.

Решение. Используя правило настоящего параграфа, напишем уравнение

1 - е - λ х i

Решим это уравнение относительно х i :

е - λ х i = 1 - r i , или - λ х i = ln (1 - r i ).

х i =1п (1– r i )/λ.

Случайное число r i заключено в интервале (0,1); следовательно, число 1 - r i , также случайное и принадлежит интервалу (0,1). Дру­гими словами, величины R и 1 - R распределены одинаково. Поэтому для отыскания х i можно воспользоваться более простой формулой:

x i =- ln r i /λ.

Замечание 2. Известно, что (см. гл. XI, §3)

В частности,

Отсюда следует, что если известна плотность вероятности f (x ), то для разыгрывания Х можно вместоуравнений F (x i )=r i решить относительно x i уравнение

Правило 2. Для того чтобы найти возможное значение х i (непрерывной случайной величины X, зная ее плот­ность вероятности f (x ) надо выбрать случайное число r i и решить относительно х i , уравнение

или уравнение

где а- наименьшее конечное возможное значение X.

Пример 3. Задана плотность вероятности непрерывной случайной величины Х f (х )=λ (1-λх /2) в интервале (0; 2/λ); вне этого интер­вала f (х )= 0. Требуется найти явную формулу для разыгрывания возможных значений X.

Решение. Напишем в соответствии с правилом 2 уравнение

Выполнив интегрирование и решив полученное квадратное уравнение относительно х i , окончательно получим

Сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: требуется найти значение а некоторой изучаемой величины. С этой целью выбирают такую случайную величину Х, математическое ожидание которой равно а: М(Х)=а.

Практически же поступают так: вычисляют (разыгрывают) n возможных значений x i случайной величины Х, находят их среднее арифметическое

И принимают в качестве оценки (приближенного значения) а* искомого числа а. Таким образом, для применения метода Монте-Карло необходимо уметь разыгрывать случайную величину.

Пусть требуется разыграть дискретную случайную величину Х, т.е. вычислить последовательность ее возможных значений х i (i=1,2, …), зная закон распределения Х. Введем обозначения: R- непрерывная случайная величина, распределенная равномерно в интервале (0,1); r i (j=1,2,…) – случайные числа (возможные значения R).

Правило: Для того чтобы разыграть дискретную случайную величину Х, заданную законом распределения

Х х 1 х 2 … х n

P p 1 p 2 … p n

1. Разбить интервал (0,1) оси or на n частичных интервалов:

Δ 1 =(0;р 1), Δ 2 =(р 1 ; р 1+ р 2), …, Δ n = (р 1 +р 2 +…+р n -1 ; 1).

2.Выбрать случайное число r j . Если r j попало в частичный интервал Δ i , то разыгрываемая величина приняла возможное значение х i . .

Разыгрывание полной группы событий

Требуется разыграть испытания, в каждом из которых наступает одно из событий полной группы, вероятности которых известны. Разыгрывание полной группы событий сводится к разыгрыванию дискретной случайной величины.

Правило: Для того чтобы разыграть испытания, в каждом из которых наступает одно из событий А 1, А 2, …, А n полной группы, вероятности которых р 1, р 2 , …, р n известны, достаточно разыграть дискретную величину Х со следующим законом распределения:

P p 1 p 2 … p n

Если в испытании величина Х приняла возможное значение x i =i, то наступило событие А i .

Разыгрывание непрерывной случайной величины

Известна функция распределения F непрерывной случайной величины Х. Требуется разыграть Х, т.е. вычислить последовательность возможных значений х i (i=1,2, …).

А. Метод обратных функций. Правило 1. х i непрерывной случайной величины Х, зная ее функцию распределения F, надо выбрать случайное число r i , приравнять его функции распределения и решить относительно х i полученное уравнение F(х i) = r i .

Если известна плотность вероятности f(x), то используют правило 2.

Правило 2. Для того чтобы разыграть возможное значение х i непрерывной случайной величины Х, зная ее плотность вероятности f, надо выбрать случайное число r i и решить относительно х i уравнение

или уравнение

где а – наименьшее конечное возможное значение Х.

Б. Метод суперпозиции. Правило 3. Для того чтобы разыграть возможное значение случайной величины Х, функция распределения которой

F(x) = C 1 F 1 (x)+C 2 F 2 (x)+…+C n F n (x),

где F k (x) – функции распределения (k=1, 2, …, n), С k >0, С i +С 2 +…+С n =1, надо выбрать два независимых случайных числа r 1 и r 2 и по случайному числу r 1 разыгрывать возможное значение вспомогательной дискретной случайной величины Z (по правилу 1):

p C 1 C 2 … C n

Если окажется, что Z=k, то решают относительно х уравнение F k (x) = r 2 .

Замечание 1. Если задана плотность вероятности непрерывной случайной величины Х в виде

f(x)=C 1 f 1 (x)+C 2 f 2 (x)+…+C n f n (x),

где f k – плотности вероятностей, коэффициенты С k положительны, их сумма равна единице и если окажется, что Z=k, то решают (по правилу 2) относительно х i относительно или уравнение

Приближенное разыгрывание нормальной случайной величины

Правило. Для того чтобы приближенно разыграть возможное значение х i нормальной случайной величины Х с параметрами а=0 и σ=1, надо сложить 12 независимых случайных чисел и из полученной суммы вычесть 6:

Замечание . Если требуется приближенно разыграть нормальную случайную величину Z с математическим ожиданием а и средним квадратическим отклонением σ, то, разыграв возможное значение х i по приведенному выше правилу, находят искомое возможное значение по формуле: z i =σx i +a.

Пусть требуется разыграть непрерывную случайную величину X, т.е. получить последовательность ее возможных значений (i=1, 2, ..., n), зная функцию распределения F(x).

Теорема. Если - случайное число, то возможное значение разыгрываемой непрерывной случайной величины X с заданной функцией распределения F (х), соответствующее , является корнем уравнения .

Правило 1. Для того чтобы найти возможное значение , непрерывной случайной величины X, зная ее функцию распределения F (х), надо выбрать случайное число , приравнять его функции распределения и решить относительно полученное уравнение .

Замечание 1. Если решить это уравнение в явном виде не удается, то прибегают к графическим или численным методам.

Пример 1. Разыграть 3 возможных значения непрерывной случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (2, 10).

Решение: Напишем функцию распределения величины X, распределенной равномерно в интервале (а, b): .

По условию, а=2, b=10, следовательно, .

Используя правило 1, напишем уравнение для отыскания возможных значений , для чего приравняем функцию распределения случайному числу:

Отсюда .

Выберем 3 случайных числа, например, , , . Подставим эти числа в уравнение, разрешенное относительно ; в итоге получим соответствующие возможные значения X: ; ; .

Пример 2. Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону, заданному функцией распределения (параметр известен) (х >0). Требуется найти явную формулу для разыгрывания возможных значений X.

Решение: Используя правило, напишем уравнение .

Решим это уравнение относительно : , или .

Случайное число заключено в интервале (0, 1); следовательно, число - также случайное и принадлежит интервалу (0,1). Другими словами, величины R и 1-R распределены одинаково. Поэтому для отыскания можно воспользоваться более простой формулой .

Замечание 2. Известно, что .

В частности, .

Отсюда следует, что если известна плотность вероятности , то для разыгрывания X можно вместо уравнений решить относительно уравнение .

Правило 2. Для того чтобы найти возможное значение непрерывной случайной величины X, зная ее плотность вероятности , надо выбрать случайное число и решить относительно уравнение или уравнение , где а - наименьшее конечное возможное значение X.

Пример 3. Задана плотность вероятности непрерывной случайной величины X в интервале ; вне этого интервала . Требуется найти явную формулу для разыгрывания возможных значений X.

Решение: Напишем в соответствии с правилом 2 уравнение .

Выполнив интегрирование и решив полученное квадратное уравнение относительно , окончательно получим .

18.7 Приближённое разыгрывание нормальной случайной величины

Напомним предварительно, что если случайная величина R распределена равномерно в интервале (0, 1), то ее математическое ожидание и дисперсия соответственно равны: М(R)=1/2, D(R)=1/12.

Составим сумму n независимых, распределенных равномерно в интервале (0, 1) случайных величин : .

Для нормирования этой суммы найдем предварительно ее математическое ожидание и дисперсию.

Известно, что математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых. Сумма содержит n слагаемых, математическое ожидание каждого из которых в силу М(R)=1/2 равно 1/2; следовательно, математическое ожидание суммы

Известно, что дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых. Сумма содержит n независимых слагаемых, дисперсия каждого из которых в силу D(R)=1/12 равна 1/12; следовательно, дисперсия суммы

Отсюда среднее квадратическое отклонение суммы

Пронормируем рассматриваемую сумму, для чего вычтем математическое ожидание и разделим результат на среднее квадратическое отклонение: .

В силу центральной предельной теоремы при распределение этой нормированной случайной величины стремится к нормальному с параметрами а=0 и . При конечном n распределение приближенно нормальное. В частности, при n=12 получим достаточно хорошее и удобное для расчета приближение .

Оценки удовлетворительные: близко к нулю, мало отличается от единицы.

Список использованных источников

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.:Высшая школа, 2001.

2. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2001.

3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 2001.

4. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.:ФОРУМ:ИНФРА-М, 2003.

5. Агапов Г.И. Задачник по теории вероятностей. – М.: Высшая школа, 1994.

6. Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: ИНФРА-М, 2001.

7. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Высшая школа, 2001.

ВВЕДЕНИЕ

Системой принято называть совокупность элементов, между которыми имеются связи любой природы, и она обладает функцией (назначением), которой нет у составляющих ее элементов. Информационные системы, как правило, представляют собой сложные территориально распределенные системы с большим количеством составляющих элементов, обладающие разветвленной сетевой структурой.

Разработка математических моделей, позволяющих оценить показатели функционирования информационных систем, является сложной и трудоемкой задачей. Для определения характеристик таких систем можно применить метод имитационного моделирования с последующей обработкой результатов эксперимента.

Имитационное моделирование является одной из центральных тем при изучении дисциплин "Моделирование систем" и "Математическое моделирование". Предметом имитационного модели­рования является изучение сложных процессов и систем, подвер­женных, как правило, воздействию случайных факторов, путем проведения экспериментов с их имитационными моделями.

Суть метода проста - имитируется “жизнь” системы при многократном повторении испытаний. При этом моделируются и регистрируются случайно меняющиеся внешние воздействия на систему. Для каждой ситуации по уравнениям модели просчитываются системные показатели. Существующие современные методы математической статистики позволяют ответить на вопрос - а можно ли и, с каким доверием, использовать данные моделирования. Если эти показатели доверия для нас достаточны, мы можем использовать модель для изучения данной системы.

Можно говорить об универсальности имитационного моделирования, поскольку оно применяется для решения теоретических и практических задач анализа больших систем, включая задачи оценки вариантов структуры системы, оценки эффективности различных алгоритмов управления системой, оценки влияния измене­ния различных параметров системы на её поведение. Имитационное моделирование может быть положено также в основу синтеза больших систем, когда требуется создать систему с заданными характеристиками при определённых ограничениях, и которая при этом была бы оп­тимальной согласно выбранным критериям.

Имитационное моделирование является одним из наиболее эффективных средств исследования и проектирования сложных систем, а часто единственным практически реализуемым методом исследования процесса их функционирования.

Целью курсовой работы является изучение студентами методов имитационного моделирования и методов обработки статистических данных на ЭВМ с использованием прикладных программных средств. Приведем возможные темы курсовых работ, позволяющих исследовать сложные системы на основе имитационных моделей.

· Имитационное моделирование в задачах одномерного или плоского раскроя. Сравнение плана раскроя с оптимальным планом, полученным методами линейного целочисленного программирования.

· Транспортные модели и их варианты. Сравнение плана перевозок, полученного методом имитационного моделирования, с оптимальным планом, полученным методом потенциалов.

· Применение метода имитационного моделирования к решению оптимизационных задач на графах.

· Определение объемов производства как задача многокритериальной оптимизации. Использование метода имитационного моделирования для нахождения множества достижимости и множества Парето.

· Метод имитационного моделирования в задачах календарного планирования. Получение рекомендаций по составлению рационального расписания.

· Исследование характеристик информационных систем и каналов связи как систем массового обслуживания методом имитационного моделирования.

· Построение имитационных моделей при организации запросов в базах данных.

· Применение метода имитационного моделирования для решения задачи управления запасами с постоянным, переменным и случайным спросом.

· Исследование работы цеха рубительных машин методом имитационного моделирования.

ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ

Техническая система S состоит из трех элементов, схема соединения которых приведена на рис.1. Времена безотказной работы X 1 , X 2 , X 3 элементов системы являются непрерывными случайными величинами с известными законами распределения вероятностей. Внешняя среда E оказывает воздействие на работу систему в виде случайной величины V с известным дискретным распределением вероятностей.

Требуется оценить надежность системы S методом имитационного моделирования на ЭВМ с последующей обработкой результатов эксперимента. Ниже приводится последовательность выполнения работы.

1. Разработка алгоритмов разыгрывания случайных величин X 1 , X 2 , X 3 и V с использованием генераторов случайных чисел, содержащихся в математических пакетах, например, в Microsoft Excel или в StatGraphics.

2. Определение времени безотказной работы системы Y в зависимости от времен безотказной работы X 1 , X 2 , X 3 элементов на основе структурной схемы расчета надежности.

3. Определение времени безотказной работы системы с учетом влияния внешней среды в соответствии с формулой Z=Y/(1+0,1V).

4. Построение моделирующего алгоритма, имитирующего работу системы S и учитывающего возможность отказа элементов и случайные воздействия внешней среды E. Реализация полученного алгоритма на ЭВМ и создание файла со значениями случайных величин X 1 , X 2 , X 3 , V, Y и Z. Число опытов для машинного эксперимента принять равным 100.

5. Статистическая обработка полученных результатов. С этой целью необходимо

Данные для случайной величины Z разбить на 10 групп и сформировать статистический ряд, содержащий границы и середины частичных интервалов, соответствующие частоты, относительные частоты, накопленные частоты и накопленные относительные частоты;

Для величины Z построить полигон и кумуляту частот, построить гистограмму по плотностям относительных частот;

Для величин X 1 , X 2 , X 3 , V установить их соответствие заданным законам распределения, используя критерий c 2 ;

Для случайной величины Z рассмотреть три непрерывных распределения (равномерное, нормальное, гамма), изобразить на гистограмме для Z плотности этих распределений;

С помощью критерия c 2 выполнить проверку справедливости гипотезы о соответствии статистических данных выбранным распределениям, уровень значимости при подборе подходящего распределения принять равным 0.05.

6. Записать функцию плотности распределения времени безотказной работы Z системы, определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Z. Определить основные характеристики надежности системы: среднюю наработку до отказа T 1 и вероятность безотказной работы P(t) в течение времени t. Найти вероятность, что система не откажет за время T 1 .

Варианты заданий выдаются из табл.1 индивидуально каждому студенту. Обозначения случайных величин содержатся по тексту в п.2 и 3. Структурные схемы расчета надежности в соответствии с их номерами приведены на рис.1.

Таблица 1

Варианты заданий

Вариант	X 1	X 2	X 3	V	Номер схемы
	LN(1,5;2)	LN(1,5;2)	E(2;0,1)	B(5;0,7)
	U(18;30)	U(18;30)	N(30;5)	G(0,6)
	W(1,5;20)	W(1,5;20)	U(10;20)	П(2)
	Exp(0,1)	Exp(0,1)	W(2;13)	B(4;0,6)
	N(18;2)	N(18;2)	Exp(0,05)	G(0,7)
	E(3;0,2)	E(3;0,2)	LN(2;0,5)	П(0,8)
	W(2,1;24)	W(2,1;24)	E(3;0,25)	B(3;0,5)
	Exp(0,03)	Exp(0,03)	N(30;0,4)	G(0,8)
	U(12;14)	U(12;14)	W(1,8;22)	П(3,1)
	N(13;3)	N(13;3)	W(2;18)	B(4;0,4)
	LN(2;1)	LN(2;1)	Exp(0,04)	G(0,9)
	E(2;0,1)	E(2;0,1)	LN(1;2)	П (4,8)
	W(1,4;20)	W(1,4;20)	U(30;50)	B(3;0,2)
	Exp(0,08)	Exp(0,08)	LN(2;1,5)	G(0,3)
	U(25;30)	U(25;30)	N(30;1,7)	П(2,8)
	N(17;4)	N(17;4)	E(2;0,04)	B(2;0,3)
	LN(3;0,4)	LN(3;0,4)	Exp(0,02)	G(0,4)
	E(2;0,15)	E(2;0,15)	W(2,3;24)	П(1,6)
	W(2,3;25)	W(2,3;25)	U(34;40)	B(4;0,9)
	Exp(0,02)	Exp(0,02)	LN(3,2;1)	G(0,7)
	U(15;22)	U(15;22)	N(19;2,2)	П(0,5)
	N(15;1)	N(15;1)	E(3;0,08)	B(4;0,6)
	LN(2;0,3)	LN(2;0,3)	Exp(0,02)	G(0,5)
	E(3;0,5)	E(3;0,5)	W(3;2)	П(3,6)
	W(1,7;19)	W(1,7;19)	U(15;20)	B(5;0,7)
	Exp(0,06)	Exp(0,06)	LN(2;1,6)	G(0,2)
	U(15;17)	U(15;17)	N(12;4)	П(4,5)
	N(29;2)	N(29;2)	E(2;0,07)	B(2;0,7)
	LN(1,5;1)	LN(1,5;1)	Exp(0,08)	G(0,7)
	E(2;0,09)	E(2;0,09)	W(2,4;25)	П(2,9)

На рис.1 имеется три вида соединения элементов: последовательное, параллельное (постоянно включенный резерв) и резервирование замещением.

Время до отказа системы, состоящей из последовательно соединенных элементов, равно наименьшему из времен до отказа элементов. Время до отказа системы с постоянно включенным резервом равно наибольшему из времен до отказа элементов. Время до отказа системы с резервом замещением, равно сумме времен до отказа элементов.

Схема 1. Схема 2.

Схема 3. Схема 4.

Схема 5. Схема 6.
Схема 7. Схема 8.