1. Колебания.

2. Механические колебания.

3. Превращения энергии при механических колебаниях.

4. Период колебаний.

5. Частота колебаний.

6. Циклическая частота колебаний.

7. Амплитуда механических колебаний.

8. Гармонические колебания.

9. Фаза гармонического колебания.

10. Аналитическое представление колебаний.

11. Графическое представление колебаний.

12. Скорость точки в гармоническом колебании.

13. Ускорение точки в гармоническом колебании.

14. Динамика гармонического колебания.

15. Период колебаний пружинного маятника.

16. Математический маятник. Квазиупругая сила.

17. Колебания тела, плавающего на поверхности жидкости.

18. Колебания однородной жидкости в U – образной трубке.

19. Колебания тела в сферической чаше.

20. Энергия гармонического колебания.

21. Затухающие колебания.

22. Вынужденные колебания.

23. Резонанс.

24. Свободные колебания. Собственная частота.

25. Автоколебания.

1. Колебания. Колебаниями вообще называют периодические изменения состояния системы, при которых периодически изменяются значения различных физических величин, характеризуют данную систему. Например, периодические изменения давления и плотности воздуха, напряжения и силы электрического тока есть колебания этих величин.

Математически периодичность означает, что, если - есть периодическая функция времени с периодом Т , то при любом t выполняется равенство

2. Механические колебания – движения тела, которые точно или почти точно повторяются через равные интервалы времени.

Механические колебания возникают в системах, имеющих положение устойчивого равновесия. Согласно с принципом минимума потенциальной энергии, в положении устойчивого равновесия потенциальная энергия системы минимальна. Когда тело выводят из положения устойчивого равновесия, его потенциальная энергия возрастает. При этом возникает сила, направленная к положению равновесия (возвращающая сила), и чем дальше от положения равновесия отклоняется тело, тем больше его потенциальная энергия и тем больше модуль возвращающей силы. Например, при отклонении пружинного маятника от положения равновесия, роль возвращающей силы играет сила упругости, модуль которой изменяется пропорционально отклонению , где х отклонение маятника от положения равновесия. Потенциальная энергия пружинного маятника изменяется пропорционально квадрату смещения .

Аналогично возникают колебания нитяного маятника и шарика, движущегося по дну сферической чаши радиуса R , который можно рассматривать как нитяной маятник с длиной нити равной радиусу чаши (Рис.78).

3.Превращения энергии при механических колебаниях . Если отсутствуют силы трения, то полная механическая энергия тела, совершающего колебательное движение, остаётся постоянной. В процессе колебаний происходят периодические взаимные превращения потенциальной и кинетической энергии тела. Проведем рассуждения на примере колебаний нитяного маятника. Для упрощения рассуждений примем потенциальную энергию маятника в положении равновесия равной нулю. В крайнем отклонённом положении потенциальная энергия маятника максимальна, а кинетическая энергия равна нулю, т.к. в этом положении маятник находится в покое. При движении к положению равновесия высота маятника над поверхностью Земли уменьшается, уменьшается и потенциальная энергия, при этом возрастают его скорость и кинетическая энергия. В положении равновесия потенциальная энергия равна нулю, а кинетическая энергия максимальна. Продолжая движение по инерции, маятник проходит положение равновесия. После прохождения положения равновесия кинетическая энергия маятника убывает, но возрастает его потенциальная энергия. Когда произойдёт остановка маятника, его кинетическая энергия станет равной нулю, а потенциальная энергия достигнет максимума и всё повторится в обратном порядке.

По закону сохранения энергии потенциальная энергия маятника в крайнем отклоненном положении равна его кинетической в момент прохождения положения равновесия.

В процессе колебаний в любой момент времени полная механическая энергия маятника равна его потенциальной в крайнем отклонённом положении или кинетической энергии в момент прохождения положения равновесия

где высота маятника в крайнем отклоненном положении, скорость в момент прохождения положения равновесия.

4. Период колебания – минимальный интервал времени, через который происходит повторение движения, или интервал времени, в течение которого происходит одно полное колебание. Период (Т ) измеряется в секундах.

5. Частота колебании - определяет число полных колебаний, совершаемых за одну секунду. Частота и период связаны соотношением

Частота измеряется в герцах (Гц). Один герц – одно полное колебание совершаемое за одну секунду

6. Циклическая частота или круговая частота определяет число полных колебаний, свершаемых за секунд

Частота – величина положительная , .

7. Амплитуда механических колебаний – максимальное отклонение тела от положения равновесия. В общем случае колебаний амплитуда есть максимальное значение, которое принимает периодически изменяющаяся физическая величина.

8. Гармонические колебания – колебания, в которых колеблющаяся величина изменяется по закону синуса или косинуса (по гармоническому закону):

Здесь амплитуда колебаний, циклическая частота.

9. Фаза гармонического колебания – величина , стоящая под знаком синуса или косинуса. Фаза определяет значение колеблющейся величины в данный момент времени, начальная фаза, т.е. в момент начала отсчёта времени Простейшим примером гармонических колебаний является колебание проекции на оси координат точки m движущейся равномерно по окружности радиуса А в плоскости XOY , центр которой совпадает с началом координат (рис. 79)

Для простоты положим , т.е. тогда

Многие известные колебательные системы можно лишь приближенно считать гармоническими лишь приближенно при очень малых отклонениях. Главным условием гармонического колебания является постоянство циклической частоты и амплитуды. Например, при колебаниях нитяного маятника, угол отклонения от вертикали изменяется неравномерно, т.е. циклическая частота не постоянна. Если отклонения очень малы, то движение маятника происходит очень медленно и неравномерностью движения можно пренебречь, полагая . Чем медленнее движение, тем меньше сопротивление среды, те меньше потери энергии и меньше изменения амплитуды.

Итак, малые колебания можно приближенно считать гармоническими.

10. Аналитическое представление колебаний – запись колеблющейся величины в виде функции , выражающей зависимость величины от времени.

11. Графическое представление колебаний – представлениеколебаний в виде графика функции в координатных осях OX и t .

Например, аналитически гармоническое колебания записывается в виде , а его графическое представление изображается синусоидой - сплошная линия на Рис.80.

12.Скорость точки при гармоническом колебании – получим, дифференцируя по времени функцию х (t )

Где амплитуда скорости, пропорциональна циклической частоте и амплитуде смещения.

Итак, скорость V по синусоидальному закону с таким же периодом T, что и смещение х в пределах . Фаза скорости опережает фазу смещения на . Это значит, что скорость максимальна, когда точка проходит положение равновесия , а при максимальных смещениях точки её скорость равна нулю. График скорости представлен пунктирной линией на рис Рис.80

13. Ускорение точки при гармонических колебаниях получим, дифференцируя скорость по времени или дифференцируя смещение х дважды по времени:

Где - амплитуда ускорения пропорциональная амплитуде смещения и квадрату циклической частоты.

Ускорение точки при гармонических колебаниях изменяется по синусоидальному закону с тем же периодом Т , что и смещение в пределах Фаза ускорения опережает фазу смещения на . Ускорение равно нулю в момент прохождения точкой положения равновесия, На Рис.81 график ускорения изображен пунктирной линией, сплошная линия изображает график смещения.

Учитывая, что ускорение запишем в виде

Т.е. ускорение в гармоническом колебании пропорционально смещению и всегда направлено к положению равновесия (против смещения). Удаляясь от положения равновесия точка движется ускоренно, приближаясь к положению равновесия точка движется ускоренно.

14. Динамика гармонического колебания. Умножив ускорение точки, совершающей гармоническое колебание, на её массу получим согласно второму закону Ньютона силу, действующую на точку

Обозначим Теперь запишем силу, действующую на точку

Из последнего равенства следует, что гармонические колебания вызываются силой пропорциональной смещению и направленной против смещения, т.е. к положению равновесия.

15. Период колебаний пружинного маятника. Пружинный маятник совершает колебания под действием силы упругости

Сила пропорциональная смещению и направленная к положению равновесия вызывает гармонические колебания точки. Поэтому колебания пружинного маятника гармонические. Коэффициент жесткости равен

Помня, что получим период свободных колебаний пружинного маятника

Частота пружинного маятника равна

.

15. Математический маятник – материальная точка, подвешенная на бесконечно тонкой, невесомой, нерастяжимой нити, совершающая колебания в вертикальной плоскости, под действием силы тяжести.

Груз, подвешенный на нити, размеры которого пренебрежимо малы по сравнению с длиной нити, можно приближенно считать математическим маятником. Часто такой маятник называют нитяным маятником.

Рассмотрим малые колебания математического маятника длиной l . В положении равновесия сила тяжести уравновешена силой натяжения нити, т.е. .

Если отклонить маятник на малый угол , то сила тяжести и сила натяжения, направленные под углом друг к другу, в сумме дают равнодействующую силу ,которая направлена к положению равновесия. На Рис.82 отклонение маятника от вертикали равно

Угол настолько мал, что циклическую частоту, т.е. угловую скорость вращения нити можно считать постоянной. Поэтому и смещение маятника запишем в виде

Таким образом, малые колебания математического маятника есть гармонические колебания. Из Рис. 82 следует, что сила , но , следовательно

Где m, g, и l постоянные величины. Обозначим и получим модуль возвращающей силы в виде . Если учесть, что сила всегда направлена к положению равновесия, т.е. против смещения, то её выражение запишем в виде .

Итак, сила, вызывающая колебания математического маятника пропорциональна смещению и направлена против смещения, как при колебаниях пружинного маятника, т.е характер этой силы такой же как и силы упругой. Но по природе упругая сила есть сила электромагнитная. Сила же вызывающая колебания математического маятника по своей природе есть сила гравитационная – неэлектромагнитная поэтому её называютквазиупругой силой. Любая сила, которая действует как сила упругая, по природе не является электромагнитной, называется квазиупругой силой. Это позволяет нам записать выражение периода колебаний математического маятника в виде

.

Из этого равенства следует, что период колебаний математического маятника не зависит от массы маятника, но зависит от его длины и ускорения свободного падения. Зная период колебаний математического маятника и его длину, можно определить ускорение свободного падения в любой точке на поверхности Земли.

17. Колебания тела, плавающего на поверхности жидкости. Для простоты рассмотрим тело массы m в форме цилиндра с площадью основания S. Тело плавает частично погрузившись в жидкость, плотность которой (Рис. 83).

Пусть в положении равновесия глубина погружения . При этом равнодействующая силы Архимеда и силы тяжести равна нулю

.

Если изменить глубину погружения на х то сила Архимеда станет равной и модуль равнодействующей силы F станет отличен от нуля

Учитывая, что получим

Обозначая , модуль силы F в виде

Если глубина погружения увеличивается, т.е. тело смещается вниз, сила Архимеда становится больше силы тяжести и равнодействующая F направлена вверх, т.е. против смещения. Если же глубина погружения уменьшается, т.е. смещается вверх от положения равновесия, сила Архимеда становится меньше силы тяжести и равнодействующая F направлена вниз, т.е. против смещения.

Итак, сила F всегда направлена против смещения и её модуль пропорционален смещению

Эта сила квазиупругая и она вызывает гармонические колебания тела, плавающего на поверхности жидкости. Период этих колебаний вычисляется по общей для гармонических колебаний формуле

.

18. Колебания однородной жидкости в U-трубке . Пусть однородная жидкость массы m , плотность которой налита в U – образную трубку, площадь сечения которой S (Рис.84) В состоянии равновесия высоты столбов в обоих коленах трубки одинаковы, по закону сообщающихся сосудов для однородной жидкости.

Если жидкость вывести из состояния равновесия, то высоты столбов жидкости в коленах будут периодически изменяться, т.е. жидкость в трубке будет совершать колебания.

Пусть в некоторый момент времени высота столба жидкости в правом колене на х больше. чем в левом. Это значит, что на жидкость в трубке действует сил тяжести жидкости в столбе высотой х , , где - объём столба жидкости высотой x . Произведение величина постоянная, следовательно .

Таким образом, модуль силы F пропорционален разности высот столбов жидкости в коленах, т.е. пропорционален смещению жидкости в трубке. Направление этой силы всегда противоположно смещению, т.е.

Следовательно эта сила вызывает гармонические колебания жидкости в трубке. Период этих колебаний запишем по правилу для гармонических колебаний

19. Колебания тела в сферической чаше. Пусть тело скользит без трения в сферической чаше радиуса R (Рис. 78). При малых отклонениях от положения равновесия колебания этого тела можно рассматривать как гармонические колебания математического маятника, длина которого равна R , с периодом равным

20. Энергия гармонического колебания . В качестве примера рассмотрим колебания пружинного маятника. При смещении х

Если сила трения очень велика, то затухающие колебания не происходят. Тело, выведенное из положения равновесия какими-либо силами, после прекращения действия этих сил возвращается в положение равновесия и останавливается. Такое движение называется апериодическим (непериодическим). График апериодического движения представлен на Рис.86.

22. Вынужденные колебания – незатухающие колебания системы, которые вызываются внешними периодически меняющимися с течением времени силами (вынуждающие силы).

Если вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону

, где амплитуда вынуждающей силы, её циклическая частота, то в системе могут установиться вынужденные гармонические колебания с циклической частотой равной частоте вынуждающей силы

.

23. Резонанс – резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты вынуждающей силы с частотой свободных колебаний системы . Если колебание происходит в среде, оказывающей сопротивление, то график зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы выглядит так как на Рис.87

Вынуждающая сила, частота которой совпадает с частотой свободных колебаний системы, даже при очень малых амплитудах вынуждающей силы может вызвать колебания с очень большой амплитудой.

24. Свободные колебания. Собственная частота системы. Свободными колебаниями называют колебания системы, происходящие под действием её внутренних сил. Для пружинного маятника внутренней силой является сила упругости. Для математического маятника, который состоит из самого маятника и Земли, внутренней силой является сила тяжести. Для тела, плавающего на поверхности жидкости, внутренней силой является сила Архимеда.

25. Автоколебания – незатухающие колебания, происходящие в среде, за счет источника энергии не обладающего колебательными свойствами, компенсирующего потери энергии на преодоление сил трения. Автоколебательные системы получают равные порции энергии через равные интервалы времени например, через один период. Примером автоколебательной системы являются часы.

Характеристика колебаний

Фаза определяет состояние системы, а именно координату, скорость, ускорение, энергию и др.

Циклическая частота характеризует скорость изменения фазы колебаний.

Начальное состояние колебательной системы характеризует начальная фаза

Амплитуда колебаний A - это наибольшее смещение из положения равновесия

Период T - это промежуток времени, в течение которого точка выполняет одно полное колебание.

Частота колебаний - это число полных колебаний в единицу времени t.

Частота, циклическая частота и период колебаний соотносятся как

Виды колебаний

Колебания, которые происходят в замкнутых системах называются свободными или собственными колебаниями. Колебания, которые происходят под действием внешних сил, называют вынужденными . Встречаются также автоколебания (вынуждаются автоматически).

Если рассматривать колебания согласно изменяющихся характеристик (амплитуда, частота, период и др.), то их можно разделить на гармонические , затухающие , нарастающие (а также пилообразные, прямоугольные, сложные).

При свободных колебаниях в реальных системах всегда происходят потери энергии. Механическая энергия расходуется, например, на совершение работы по преодолению сил сопротивления воздуха. Под влиянием силы трения происходит уменьшение амплитуды колебаний, и через некоторое время колебания прекращаются. Очевидно, что чем больше силы сопротивления движению, тем быстрее прекращаются колебания.

Вынужденные колебания. Резонанс

Вынужденные колебания являются незатухающими. Поэтому необходимо восполнять потери энергии за каждый период колебаний. Для этого необходимо воздействовать на колеблющееся тело периодически изменяющейся силой. Вынужденные колебания совершаются с частотой, равной частоте изменения внешней силы.

Вынужденные колебания

Амплитуда вынужденных механических колебаний достигает наибольшего значения в том случае, если частота вынуждающей силы совпадает с частотой колебательной системы. Это явление называется резонансом .

Например, если периодически дергать шнур в такт его собственным колебаниям, то мы заметим увеличение амплитуды его колебаний.

Если влажный палец двигать по краю бокала, то бокал будет издавать звенящие звуки. Хотя это и незаметно, палец движется прерывисто и передает стеклу энергию короткими порциями, заставляя бокал вибрировать

Стенки бокала также начинают вибрировать, если на него направить звуковую волну с частотой, равной его собственной. Если амплитуда станет очень большой, то бокал может даже разбиться. По причине резонанса при пении Ф.И.Шаляпина дрожали (резонировали) хрустальные подвески люстр. Возникновение резонанса можно проследить и в ванной комнате. Если вы будете негромко пропевать звуки разной частоты, то на одной из частот возникнет резонанс.

В музыкальных инструментах роль резонаторов выполняют части их корпусов. Человек также имеет собственный резонатор - это полость рта, усиливающая издаваемые звуки.

Явление резонанса необходимо учитывать на практике. В одних явлениях он может быть полезен, в других - вреден. Резонансные явления могут вызывать необратимые разрушения в различных механических системах, например, неправильно спроектированных мостах. Так, в 1905 году рухнул Египетский мост в Санкт-Петербурге, когда по нему проходил конный эскадрон, а в 1940 - разрушился Такомский мост в США.

Явление резонанса используется, когда с помощью небольшой силы необходимо получить большое увеличение амплитуды колебаний. Например, тяжелый язык большого колокола можно раскачать, действуя сравнительно небольшой силой с частотой, равной собственной частоте колебаний колокола.

- 131.04 Кб

Введение………………………………………………………… …..

1. Виды и характеристики колебаний.

1. Механические колебания…………………………………………….

1. Электомагнитные колебания………………………..

Литература…………………………………………………… ……………..

Введение.

Колебания – один из самых распространенных процессов в природе и технике. Колеблются высотные здания и высоковольтные провода под действием ветра, маятник заведенных часов и автомобиль на рессорах во время движения, уровень реки в течение года и температура человеческого тела при болезни.

Звук – это колебания плотности и давления воздуха, радиоволны – периодические изменения напряженностей электрического и магнитного полей, видимый свет – тоже электромагнитные колебания, только с несколько иными длиной волны и частотой. Землетрясения – колебания почвы, приливы и отливы – изменение уровня морей и океанов, вызываемое притяжением Луны и достигающее в некоторых местностях 18 метров, биение пульса – периодические сокращения сердечной мышцы человека и т.д. Смена бодрствования и сна, труда и отдыха, зимы и лета...

Даже наше каждодневное хождение на работу и возвращение домой попадает под определение колебаний, которые трактуются как процессы, точно или приближенно повторяющиеся через равные промежутки времени.

Колебания бывают механические, электромагнитные, химические, термодинамические и различные другие. Несмотря на такое разнообразие, все они имеют между собой много общего и поэтому описываются одними и теми же дифференциальными уравнениями. Специальный раздел физики – теория колебаний – занимается изучением закономерностей этих явлений. Знать их необходимо судо- и самолетостроителям, специалистам промышленности и транспорта, создателям радиотехнической и акустической аппаратуры.

Любые колебания характеризуются амплитудой – наибольшим отклонением некоторой величины от своего нулевого значения, периодом (T ) или частотой (v ). Последние две величины связаны между собой обратно пропорциональной зависимостью: T = 1/v . Частота колебаний выражается в герцах (Гц). Единица измерения названа так в честь известного немецкого физика Генриха Герца (1857...1894). 1 Гц – это одно колебание в секунду. Примерно с такой частотой бьется человеческое сердце. Слово «херц» по-немецки означает «сердце». При желании в этом совпадении можно усмотреть некую символическую связь.

Первыми учеными, изучавшими колебания, были Галилео Галилей (1564...1642) и Христиан Гюйгенс (1629...1692). Галилей установил изохронизм (независимость периода от амплитуды) малых колебаний, наблюдая за раскачиванием люстры в соборе и отмеряя время по ударам пульса на руке. Гюйгенс изобрел первые часы с маятником (1657) и во втором издании своей монографии «Маятниковые часы» (1673) исследовал ряд проблем, связанных с движением маятника, в частности нашел центр качания физического маятника.

Большой вклад в изучение колебаний внесли многие ученые: английские – У. Томсон (лорд Кельвин) и Дж. Рэлей , русские – А.С. Попов и П.Н. Лебедев, советские – А.Н. Крылов, Л.И. Мандельштам, Н.Д. Папалекси, Н.Н. Боголюбов, А.А. Андронов и другие.

1.Виды колебаний и их характеристики.

Колебательными процессами (колебаниями) называются движения или изменения состояния, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени.

Колебания называются периодическими, если значения физических величин, изменяющиеся в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки времени Т, называемые периодом.

В зависимости от физической природы и механизма возбуждения колебаний различают:

- механические колебания (колебания маятников, струн, балок, частей машин и механизмов, качка кораблей, волнение моря, колебания давления при распространении звука в газе, жидкости, твердом теле и т.д.);

- электромагнитные колебания (переменный ток, колебания тока, заряда, векторов E и H в колебательных контурах и т.д.);

- электромеханические колебания (колебания мембран телефонов, диффузоров электродинамических громкоговорителей и т.д.).

Колебательные движения отличаются от других видов движений. Они характеризуются некоторыми общими признаками. На языке теории колебаний различия между колебательным движением тела и процессами в колебательных электромагнитных контурах исчезают, если подходить к ним с точки зрения общих принципов. Такой подход называется электромеханическими аналогиями.

Система, совершающая колебания, называется колебательной системой.

Колебания, которые возникают вследствие какого-либо начального отклонения системы от ее устойчивого равновесия, называются собственными колебаниями.

Колебания, возникающие в системе под влиянием переменного внешнего воздействия, называются вынужденными колебаниями.

Общие признаки и понятия, единые для различных колебательных систем, следующие:

• дифференциальное уравнение (его вид одинаков для любых колеблющихся систем);
• уравнение колебаний;
• амплитуда;
• частота или период колебаний;
• фаза;
• начальная фаза.

Рассмотрим колебания в механической и электромагнитной системах, выделяя именно перечисленные выше признаки.

1.1.Механические колебания.

В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различают свободные колебания, вынужденные колебания, автоколебания и параметрические колебания.

Свободными называют такие колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как ей был сообщен толчок либо она была выведена из положения равновесия. Примером могут служить колебания шарика, подвешенного на нити (маятник). Для того чтобы вызвать колебания, можно либо толкнуть шарик, либо отведя в сторону, отпустить его.

Вынужденными называются такие колебания, в процессе которых колеблющаяся система подвергается воздействию внешней периодически изменяющейся силы. Примером служат колебания моста, возникающие при прохождении по нему людей, шагающих в ногу.

Автоколебания, как и вынужденные колебания, сопровождаются воздействием на колеблющуюся систему внешних сил, однако моменты времени, когда осуществляются эти воздействия, задаются самой колеблющейся системой – система сама управляет внешним воздействием. Примером автоколебательной системы являются часы, в которых маятник получает толчки за счет энергии поднятой гири или закрученной пружины, причем эти толчки происходят в моменты прохождения маятника через среднее положение. При параметрических колебаниях за счет внешнего воздействия происходит периодическое изменение какого-либо параметра системы, например длины нити, к которой подвешен шарик, совершающий колебания.

Простейшими являются гармонические колебания, т.е. такие колебания, при которых колеблющаяся величина (например, отклонение маятника) изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Этот вид колебаний особенно важен по следующим причинам: во-первых, колебания в природе и в технике часто имеют характер, очень близкий к гармоническим, и, во-вторых, периодические процессы иной формы (с другой зависимостью от времени) могут быть представлены как наложение нескольких гармонических колебаний.

В качестве механической колебательной системы, на примере которой мы будем рассматривать колебания, выбираем пружинный маятник : маленькое тело (материальная точка) массой m подвешено на пружине с жесткостью k (Рисунок 2).

Ненагруженная пружина имела длину l 0 . Когда подвесили тело, пружина удлинилась на ∆l. Возникшая упругая сила уравновесила силу тяжести. Это соотношение позволяет определить положение равновесия пружинного маятника . Если теперь тело сместить относительно положения равновесия на расстояние х, то на тело будет действовать сила упругости и сила тяжести.

Равнодействующая этих сил равна:

Знак минус означает, что направление силы F упр. и направление смещения х противоположны. F упр. - сила упругости, возникающая при смещении тела относительно положения равновесия за счет сжатия или растяжения пружины (в зависимости от того, в какую сторону от положения равновесия отклонено тело). Качественно на Рисунке 1.1 виден результат действия упругой силы (чем больше смещение, тем больше F упр.).

Рисунок 1.1 – Положения пружинного маятника за время одного периода колебаний.

Если система совершает колебания под действием сил, развивающихся в самой колебательной системе без внешних воздействий и без учета сил сопротивления, то колебания называются незатухающими собственными колебаниями .

Отсутствие затухания колебаний характерно для идеальной колебательной системы, которая является физической моделью реальных физических процессов.

Дифференциальное уравнение , соответствующее колебаниям пружинного маятника, можно получить из закона его движения, которым является 2-й закон Ньютона ma = F .

Учитывая, что ускорение есть вторая производная от смещения по времени
,
а сила, действующая на тело, есть сила упругости, определяемая для малых смещений тела от положения равновесия по закону Гука, как, получим

или
.

Это дифференциальное уравнение второго порядка для незатухающих колебаний. Основной его отличительной особенностью является тот факт, что вторая производная от смещения по времени (т.е. ускорение) пропорциональна смещению. Дифференциальное уравнение, в которое величина х входит в нулевой или первой степени, называется линейным дифференциальным уравнением. В дальнейшем мы покажем, что подобного рода уравнения характерны для незатухающих колебаний в любой идеальной колебательной системе.

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем дифференциальное уравнение к виду:

Величина, обозначим ее, получим

Решением дифференциального уравнения такого вида являются уравнения:

Или

Эти решения называются уравнениями колебаний, они позволяют вычислить смещение х пружинного маятника в любой момент времени.

Колебания, при которых характеризующие их физические величины изменяются по закону синуса или косинуса, называются гармоническими .

Отличие аргументов функций синуса и косинуса составляет, т.е. .
В дальнейшем чаще всего мы будем использовать решение дифференциального уравнения в виде.

В уравнении колебаний:

А – амплитуда смещения – максимальное отклонение маятника от положения равновесия;

х – смещение маятника, т.е. отклонение колеблющейся точки (тела) от положения равновесия в момент времени t;

– фаза колебаний – величина, определяющая положение колеблющейся точки в любой момент времени t;

α – начальная фаза определяет положение маятника в начальный момент времени (t = 0).

Периодом T называется наименьший интервал времени, за который система возвращается в исходное положение. За период колебаний система совершает одно полное колебание.

Частотой периодических колебаний называется величина, равная числу колебаний, совершаемых за единицу времени.

Циклической или круговой частотой периодических колебаний называется величина, равная числу колебаний, совершаемых за единиц времени.

Для пружинного маятника частота и период собственных колебаний в зависимости от параметров системы имеют вид:

, .

Зная уравнение смещения пружинного маятника, получим подобные уравнения для других физических величин. Найдем скорость, ускорение, энергию колебаний, если уравнение смещения пружинного маятника задано в виде.

Скорость колебаний маятника есть первая производная по времени от смещения:

Краткое описание

Колебания – один из самых распространенных процессов в природе и технике. Колеблются высотные здания и высоковольтные провода под действием ветра, маятник заведенных часов и автомобиль на рессорах во время движения, уровень реки в течение года и температура человеческого тела при болезни.

Механические колебания…………………………………………….

Электомагнитные колебания………………………..

Литература…………………………………………………………………..

Существуют разные виды колебаний в физике, характеризующиеся определенными параметрами. Рассмотрим их основные отличия, классификацию по разным факторам.

Основные определения

Под колебанием подразумевают процесс, в котором через равные промежутки времени основные характеристики движения имеют одинаковые значения.

Периодическими называют такие колебания, при которых значения основных величин повторяются через одинаковые промежутки времени (период колебаний).

Разновидности колебательных процессов

Рассмотрим основные виды колебаний, существующие в фундаментальной физике.

Свободными называют колебания, которые возникают в системе, не подвергающейся внешним переменным воздействиям после начального толчка.

В качестве примера свободных колебаний является математический маятник.

Те виды механических колебаний, которые возникают в системе под действием внешней переменной силы.

Особенности классификации

По физической природе выделяют следующие виды колебательных движений:

• механические;
• тепловые;
• электромагнитные;
• смешанные.

По варианту взаимодействия с окружающей средой

Виды колебаний по взаимодействию с окружающей средой выделяют несколько групп.

Вынужденные колебания появляются в системе при действии внешнего периодического действия. В качестве примеров такого вида колебаний можно рассмотреть движение рук, листья на деревьях.

Для вынужденных гармонических колебаний возможно появление резонанса, при котором при равных значениях частоты внешнего воздействия и осциллятора при резком возрастании амплитуды.

Собственные это колебания в системе под воздействием внутренних сил после того, когда она будет выведена из равновесного состояния. Простейшим вариантом свободных колебаний является движение груза, который подвешен на нити, либо прикреплен к пружине.

Автоколебаниями называют виды, при которых у системы есть определенный запас потенциальной энергии, идущей на совершение колебаний. Отличительной чертой их является тот факт, что амплитуда характеризуется свойствами самой системы, а не первоначальными условиями.

Для случайных колебаний внешняя нагрузка имеет случайное значение.

Основные параметры колебательных движений

Все виды колебаний имеют определенные характеристики, о которых следует упомянуть отдельно.

Амплитудой называют максимальное отклонение от положения равновесия отклонение колеблющейся величины, измеряется она в метрах.

Период является время одного полного колебания, через который повторяются характеристики системы, вычисляется в секундах.

Частота определяется количеством колебаний за единицу времени, она обратно пропорциональна периоду колебаний.

Фаза колебаний характеризует состояние системы.

Характеристика гармонических колебаний

Такие виды колебаний происходят по закону косинуса или синуса. Фурье удалось установить, что всякое периодическое колебание можно представить в виде суммы гармонических изменений путем разложения определенной функции в

В качестве примера можно рассмотреть маятник, имеющий определенный период и циклическую частоту.

Чем характеризуются такие виды колебаний? Физика считает идеализированной системой, которая состоит из материальной точки, которая подвешена на невесомой нерастяжимой нити, колеблется под воздействием силы тяжести.

Такие виды колебаний обладают определенной величиной энергии, они распространены в природе и технике.

При продолжительном колебательном движении происходит изменение координаты его центра масс, а при переменном токе меняется значение тока и напряжения в цепи.

Выделяют разные виды гармонических колебаний по физической природе: электромагнитные, механические и др.

В качестве вынужденных колебаний выступает тряска транспортного средства, которое передвигается по неровной дороге.

Основные отличия между вынужденными и свободными колебаниями

Эти виды электромагнитных колебаний отличаются по физическим характеристикам. Наличие сопротивления среды и силы трения приводят к затуханию свободных колебаний. В случае вынужденных колебаний потери энергии компенсируются ее дополнительным поступлением от внешнего источника.

Период пружинного маятника связывает массу тела и жесткость пружины. В случае математического маятника он зависит от длины нити.

При известном периоде можно вычислить собственную частоту колебательной системы.

В технике и природе существуют колебания с разными значениями частот. К примеру, маятник, который колеблется в Исаакиевском соборе в Петербурге, имеет частоту 0,05 Гц, а у атомов она составляет несколько миллионов мегагерц.

Через некоторый промежуток времени наблюдается затухание свободных колебаний. Именно поэтому в реальной практике применяют вынужденные колебания. Они востребованы в разнообразных вибрационных машинах. Вибромолот является ударно-вибрационной машиной, которая предназначается для забивки в грунт труб, свай, иных металлических конструкций.

Электромагнитные колебания

Характеристика видов колебаний предполагает анализ основных физических параметров: заряда, напряжения, силы тока. В качестве элементарной системы, которая используется для наблюдения электромагнитных колебаний, является колебательный контур. Он образуется при последовательном соединении катушки и конденсатора.

При замыкании цепи, в ней возникают свободные электромагнитные колебания, связанные с периодическими изменениями электрического заряда на конденсаторе и тока в катушке.

Свободными они являются благодаря тому, что при их совершении нет внешнего воздействия, а используется только энергия, которая запасена в самом контуре.

При отсутствии внешнего воздействия, через определенный промежуток времени, наблюдается затухание электромагнитного колебания. Причиной подобного явления будет постепенная разрядка конденсатора, а также сопротивление, которым в реальности обладает катушка.

Именно поэтому в реальном контуре происходят затухающие колебания. Уменьшение заряда на конденсаторе приводит к снижению значения энергии в сравнении с ее первоначальным показателем. Постепенно она выделится в виде тепла на соединительных проводах и катушке, конденсатор полностью разрядится, а электромагнитное колебание завершится.

Значение колебаний в науке и технике

Любые движения, которые обладают определенной степенью повторяемости, являются колебаниями. Например, математический маятник характеризуется систематическим отклонением в обе стороны от первоначального вертикального положения.

Для пружинного маятника одно полное колебание соответствует его движению вверх-вниз от начального положения.

В электрическом контуре, который обладает емкостью и индуктивностью, наблюдается повторение заряда на пластинах конденсатора. В чем причина колебательных движений? Маятник функционирует благодаря тому, что сила тяжести заставляет его возвращаться в первоначальное положение. В случае пружиной модели подобную функцию осуществляет сила упругости пружины. Проходя положение равновесия, груз имеет определенную скорость, поэтому по инерции движется мимо среднего состояния.

Электрические колебания можно объяснить разностью потенциалов, существующей между обкладками заряженного конденсатора. Даже при его полной разрядке ток не исчезает, осуществляется перезарядка.

В современной технике применяются колебания, которые существенно различаются по своей природе, степени повторяемости, характеру, а также «механизму» появления.

Механические колебания совершают струны музыкальных инструментов, морские волны, маятник. Химические колебания, связанные с изменением концентрации реагирующих веществ, учитывают при проведении различных взаимодействий.

Электромагнитные колебания позволяют создавать различные технические приспособления, например, телефон, ультразвуковые медицинские приборы.

Колебания яркости цефеид представляют особый интерес в астрофизике, их изучением занимаются ученые из разных стран.

Заключение

Все виды колебаний тесно связаны с огромным количеством технических процессов и физических явлений. Велико их практическое значение в самолетостроении, строительстве судов, возведении жилых комплексов, электротехнике, радиоэлектронике, медицине, фундаментальной науке. Примером типичного колебательного процесса в физиологии выступает движение сердечной мышцы. Механические колебания встречаются в органической и неорганической химии, метеорологии, а также во многих иных естественнонаучных областях.

Первые исследования математического маятника были проведены в семнадцатом веке, а к концу девятнадцатого столетия ученым удалось установить природу электромагнитных колебаний. Русский ученый Александр Попов, которого считают «отцом» радиосвязи, проводил свои эксперименты именно на основе теории электромагнитных колебаний, результатах исследований Томсона, Гюйгенса, Рэлея. Ему удалось найти практическое применение электромагнитным колебаниям, использовать их для передачи радиосигнала на большое расстояние.

Академик П. Н. Лебедев на протяжении многих лет проводил эксперименты, связанные с получение электромагнитных колебаний высокой частоты с помощью переменны электрических полей. Благодаря многочисленным экспериментам, связанные с различными видами колебаний, ученым удалось найти области их оптимального использования в современной науке и технике.

), колебания, которые совершаются за счет энергии, сообщенной системе в начале колебательного движения (например, в механической системе через начальное смещение тела или придание ему начальной скорости, а в электрической системе - колебательном контуре - через создание начального заряда на обкладках конденсатора). Амплитуда собственных колебаний в отличие от вынужденных колебаний определяется только этой энергией, а их частота - свойствами самой системы. Вследствие рассеяния энергии собственные колебания всегда являются затухающими колебаниями. Пример собственные колебания - звучание колокола , гонга , струны рояля и т.п.

Современная энциклопедия . 2000 .

Смотреть что такое "СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ" в других словарях:

Собственные колебания - (свободные колебания), колебания, которые совершаются за счет энергии, сообщенной системе в начале колебательного движения (например, в механической системе через начальное смещение тела или придание ему начальной скорости, а в электрической… … Иллюстрированный энциклопедический словарь

Колебания в любой колебат. системе, происходящие в отсутствие внешнего воздействия; то же, что (см. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ) . Физический энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1983 … Физическая энциклопедия

- (свободные колебания) колебания, которые могут возбуждаться в колебательной системе под действием начального толчка. Форма и частота собственных колебаний определяются массой и упругостью для механических собственных колебаний и индуктивностью и… … Большой Энциклопедический словарь

- (Oscillations) свободные колебания тела или колебательного контура по инерции, когда на них не действует периодическая внешняя сила. С. К. имеют вполне определенный период (собственный период); напр. колебания корабля после того, как его… … Морской словарь

собственные колебания - Свободные колебания по одной из собственных форм. [Сборник рекомендуемых терминов. Выпуск 82. Строительная механика. Академия наук СССР. Комитет научно технической терминологии. 1970 г.] Тематики строительная механика, сопротивление материалов EN … Справочник технического переводчика

- (свободные колебания), колебания, которые могут возбуждаться в колебательной системе под действием начального толчка. Форма и частота механических собственных колебаний определяются массой и упругостью, а электромагнитных индуктивностью и… … Энциклопедический словарь

собственные колебания - savieji virpesiai statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. eigen oscillations; natural oscillations; self oscillations vok. Eigenschwingungen, f rus. собственные колебания, n pranc. oscillations propres, f … Fizikos terminų žodynas

Свободные колебания, колебания, совершающиеся в динамич. системе при отсутствии внешнего воздействия при сообщении ей в начальный момент внешнего возмущения, выводящего систему из состояния равновесия. Характер С. к. в основном определяется… … Математическая энциклопедия

собственные колебания - ▲ физические колебания независимый собственные [свободные] колебания возникают под действием начального толчка. автоколебания. самовозбуждение самопроизвольное возникновение колебаний в системе под влиянием внешних воздействий. спектр. триплет … Идеографический словарь русского языка

Свободные колебания, колебания в механической, электрической или какой либо другой физической системе, совершающиеся при отсутствии внешнего воздействия за счёт первоначально накопленной энергии (вследствие наличия начального смещения или … Большая советская энциклопедия

Книги

• Сложное прошедшее. В поисках Парижа, или Вечное возвращение (комплект из 3 книг) , Михаил Герман. В трехтомник прозы известного петербургского писателя и историка искусства Михаила Юрьевича Германа входят воспоминания "Сложное прошедшее" и книга "В поисках Парижа, или Вечное…
• Ударение в собственных именах в современном русском языке , А. В. Суперанская. Настоящая книга посвящена анализу ударения в собственных именах в современном русском языке. Изложение охватывает три типа собственных имен - личные имена, фамилии и географические названия в…