Лекция 5. Теорема об изменении кинетической энергии

5. 1. Работа силы

Пусть сила – равнодействующая всех сил системы, приложена к точке Р, а (dx , dy , dz ) – элементарное перемещение точки Р вдоль ее траектории Р 1 Р 2 (рис. 5.1). Элементарной работой d А силы называют скалярное произведение

Элементарная работа является скалярной величиной. Если - угол между силой и направлением перемещения , то выражение (5.1) можно представить в виде

где - проекция силы на направление элементарного перемещения (или направление скорости точки).

Знак элементарной работы зависит от знака функции . Если - острый угол, то , если - тупой угол, то , если , то .

Пусть точка Р совершает конечное перемещение из положения в положение , описывая дугу . Разобьем дугу на n произвольных малых участков, обозначив длину участка с номером k через . Тогда элементарная работа силы на k -м участке будет равна , а на всем пути от до - сумме работ на отдельных участках

Точное значение работы получим, переходя к пределу, при условии, что число участков n неограниченно возрастает, а длина каждого участка убывает:

.

Такой предел называется криволинейным интегралом первого рода по дуге и записывается следующим образом

. (5.3)

Результат интегрирования является полной работой А силы F на рассматриваемом конечном перемещении вдоль пути .

5. 1. 1. Работа силы тяжести

Пусть m – масса точки, g – ускорение свободного падения. Тогда

Вычисляя работу по формулам (5.1) и (5.3), имеем

где - высота опускания точки.

При подъеме точки , следовательно, .

5. 1. 2. Работа линейной силы упругости

Пусть материальная точка Р движется вдоль оси Ох (рис. 5.3) под действием пружины, к которой она прикреплена. Если при , , то пружина деформирована и при малых отклонениях точки можно считать, что со стороны пружины к ней приложена сила упругости . Тогда работа силы упругости на перемещении x 0 x 1 будет равна

. (5.5)

Работа силы упругости равна половине произведения коэффициента жесткости на разность квадратов начального и конечного удлинения (или сжатий) пружины.

5. 1. 3. Элементарная работа сил, приложенных к твердому телу

Рассмотрим движение тела в плоскости. Пусть О – произвольно выбранная точка на твердом теле (рис.5.4). Назовем ее полюсом. Тогда движение тела в плоскости можно представить как сумму простейших: поступательного движения вместе с полюсом и вращение тела вокруг полюса. Тогда, скорость точки относительно неподвижной системы координат определится как геометрическая сумма двух скоростей

где - скорость полюса, - вектор угловой скорости твердого тела, – скорость Эйлера, т е. скорость точки при ее ращении вокруг полюса.

Будем представлять твердое тело как механическую систему, состоящую из N отдельных точек, взаимное расстояние между которыми не изменяется.

Вычислим смещение точки под действием силы :

Тогда .

Элементарная работа, согласно (5.1), запишется следующим образом

Воспользовавшись свойствами смешенного произведения векторов , перепишем последнее выражение в виде

Пусть - равнодействующая всех сил, внешних и внутренних (рис5.4), приложенных в точке тела, т.е.

.

Тогда (а) запишется так

Согласно (3.1 и 3.2), главный вектор и главный момент внутренних сил системы равны нулю, получаем

здесь: – главный вектор, – главный момент внешних сил относительно точки О .

Частные случаи

A. Поступательное движение твердого тела . Все точки тела имеют одинаковые перемещения (рис. 5.5, а) и по модулю, и по направлению, тогда, из (5.6), получим (здесь ):

. (5.7)

B. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси . Пусть ось z проходит через полюс О (рис. 5.5б). Тогда , ; из (5.6) получим

. (5.8)

Пример. Катушка массой m и радиусом R приводится в движение постоянной силой F , приложенной в точке А (рис. 5.6). Катушка катится вправо без скольжения по шероховатой поверхности.

Вычислить работу всех внешних сил, если центр катушки переместился на расстояние , - коэффициент трения качения, - сила трения, r – радиус сердечника катушки, к которой приложена сила.

Решение. Катушка совершает плоское движение. Так как качение происходит без скольжения, то мгновенный центр скоростей находится в точке касания катушки с плоскостью, т.е. в точке Р (рис.5.6). Направим ось S по горизонтали вправо. В соответствии с направлением движения примем положительное направление угла поворота против хода часовой стрелки.

Пусть центр катушки С переместится на . При этом катушка повернется на угол . Тогда , откуда

Приняв точку Р за мгновенную ось вращения, вычислим элементарную работу по формуле (5.8):

(а)

Здесь: линии действия сил и mg пересекают ось вращения, поэтому ; далее , где N – сила нормальной реакции.

Для определения искомой работы остается взять определенный интеграл от (а) в пределах от 0 до S А . Получим

5. 2. Силовое поле. Силовая функция. Потенциальная энергия

Предположим, что точка движется в некотором пространстве и на нее со стороны пространства действует сила, которая зависит от положения точки в этом пространстве, но не зависит от скорости движения точки. В этом случае говорят, что в пространстве задано силовое поле , а также, что точка движется в силовом поле. Соответствующие понятия для системы материальных точек аналогичны.

Силы, зависящие от положения точек их приложения, в механике встречаются часто. Например, сила упругости, приложенная к материальной точке, которая движется по горизонтальной прямой под действием пружины. Важнейшим примером силового поля в природе является гравитационное поле: действие Солнца на планету данной массы определяется в каждой точке пространства законом всемирного тяготения.

Силовое поле называется потенциальным , если существует скалярная функция U , зависящая только от координат , , точки -точки материальной системы (возможно, и от времени), такая, что

Функция называется силовой функцией .

Рассмотрим свойства силовой функции.

Элементарная работа (5.1) связана с силовой функцией следующим образом

Таким образом, элементарная работа силы в потенциальном силовом поле равна полному дифференциалу от силовой функц ии.

Полная работа силы на участке от точки до точки (рис.5.1)

т.е. . (5.10)

Из полученных выражений следует, что

1. работа силы в потенциальном силовом поле по любому замкнутому пути равна нулю;

2. работа силы в потенциальном силовом поле зависит только от положения конечной и начальной точек, но сам путь перемещения роли не играет.

Потенциальная энергия. Потенциальной энергией П в рассматриваемой точке силового поля Р называют работу, которую совершают силы поля, действующую на материальную точку при ее перемещении из точки Р в начальную точку 1 , т.е.

П = или П =

Свяжем силовую функцию U с потенциальной энергией. Имеем

Примеры вычисления потенциальной энергии

1. Однородное поле тяжести . Пусть m – масса точки; g – ускорение свободного падения. Тогда (рис. 5.2)

2. Силовое поле упругой пружины . Пусть материальная точка движется вдоль оси Ох (рис. 5.3) под действием пружины, к которой она прикреплена. Если при пружина не деформирована, то, полагая в формуле (5.5) , получим

.

5. 3. Кинетическая энергия

5. 3. 1. Кинетическая энергия системы. Теорема Кенига

Кинетической энергией материальной точки называют половину произведения массы точки на квадрат ее скорости, т.е. . Кинетическая энергия, является скалярной положительной величиной. В системе СИ, единицей измерения кинетической энергии является джоуль: .

Кинетической энергией механической системы называется сумма кинетических энергий всех точек, входящих в систему:

(5.11)

Скорости точек системы (5.1) определяются относительно неподвижной системы отсчета.

Совместим начало координат с центром масс системы. Предположим, что механическая система вместе с системой координат движется поступательно относительно неподвижной системы координат (рис.5.7). Точка – точка системы.

Тогда, на основании теоремы о сложении скоростей, абсолютная скорость точки Р k . системы запишется так векторная сумма переносной и относительной скоростей:

, (а)

где – скорость начала подвижной системы координат (переносная скорость, т.е. скорость центра масс системы); – скорость точки Р k относительно подвижной системы координат Оху z (относительная скорость).

Подставляя (а) в формулу (5.11), получаем

(5.12)

Здесь - масса всей системы.

Радиус-вектор центра масс системы в подвижной системе координат определяется, согласно (2.1), – , откуда , т.е. . Поскольку начало координат О является центром масс системы, то , тогда , т.е. вторая сумма в выражении (5.12) равна нулю.

Таким образом, кинетическая энергия системы (5.12) имеет вид

(5.13)

Это равенство определяет теорему Кенига.

Теорема . Кинетическая энергия системы равна сумме кинетической энергии, которую имела бы материальная точка, расположенная в центре масс системы и имеющая массу, равную массе системы, и кинетической энергии движения системы относительно центра масс.

5. 3. 2. Кинетическая энергия твердого тела

Твердое тело является частным случаем механической системы и рассматривается как непрерывно распределенная масса, тогда все суммы, входящие в выражение для кинетической энергии системы, переходят в интегралы. Так, для твердого тела формула (5.11) примет вид

. (5.14)

1. Кинетическая энергия твердого тела, двигающегося поступательно.

При этом виде движения скорости всех точек тела одинаковы (рис. 5.8). Вынося в формуле (5.14) за знак интеграла, получим

. (5.15)

Кинетическая энергия твердого тела, движущегося поступательно, равна половине произведения массы тела M на квадрат его скорости.

2. Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

Модуль скорости V любой точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равен , где - модуль угловой скорости твердого тела, - расстояние от точки до оси вращения z (рис. 5.9). Подставляя в формулу (5.14), получим

здесь – момент инерции твердого тела относительно оси z .

Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат угловой скорости тела.

3. Кинетическая энергия твердого тела при плоско – параллельном движении

При плоско – параллельном движении скорость любой точки тела состоит из геометрической суммы скорости полюса и скорости точки при вращении вокруг полюса. Пусть тело движется плоско в плоскости Oxy , тогда

|| . За полюс выбираем центр масс тела, тогда в формуле (5.13), скорость есть скорость точки k тела при ее вращении относительно полюса (центра масс) и равна , где расстояние k - ой точки до полюса. Тогда (5.13) перепишется

Имея в виду, что – момент инерции тела относительно оси z , проходящей через полюс С , последнее выражение можно переписать как

, (5.17)

при плоско – параллельном движении тела кинетическая энергия складывается из кинетической энергии поступательного движения вместе с центром масс и кинетической энергии от вращения вокруг оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной плоскости движения.

5. 4. Теорема об изменении кинетической энергии

5. 4. 1. Теорема об изменении кинетической энергии точки

Найдем связь между работой и изменением скорости. Пусть материальная точка массой m перемещается вдоль оси Ох под действием силы, например сжатой или разжатой пружины, закрепленной в начале координат, – точке О (рис. 5.10). Уравнение движения точки имеет вид

Умножим обе части этого уравнения на , и, учитывая, что , получим

. (5.19)

В правой части этого равенства заменим V x на и умножим на dt правую и левую части. Тогда

. (5.20)

В этом виде равенство имеет очень наглядный смысл: при смещении точки на dx , сила совершает работу , в результате чего изменяется величина кинетической энергии точки , характеризующая движение точки и, в частности, модуль ее скорости. Если точка смещается из положения в , а ее скорость при этом изменяется от до , то, интегрируя (5.20), имеем

. (5.21)

Учитывая, что , окончательно находим

. (5.22)

Изменение кинетической энергии материальной точки при ее каком-либо перемещении равно работе силы, действующей на точку на том же перемещении.

Проделывая все предыдущие процедуры, получим

,

здесь – дуга, вдоль которой перемещается точка (рис. 5.11).

5. 4. 2. Теорема об изменении кинетической энергии системы

Пусть точки системы массой переместились так, что их радиус-векторы в инерциальной системе отсчета получили приращение . Найдем, как при этом изменилась кинетическая энергия Т системы.

Согласно (5.11), кинетическая энергия системы

.

Вычислим дифференциал кинетической энергии системы и преобразуем полученное выражение

здесь

Принимая во внимание, что , где - ускорение точки а и - равнодействующие внешних и внутренних сил, приложенных к точке, перепишем последнее равенство в виде

Таким образом,

. (5.23)

Последнее равенство выражает теорему об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме: дифференциал кинетической энергии системы равен элементарной работе всех сил системы.

Частный случай . Для абсолютно твердого тела сумма работ всех внутренних сил системы равна нулю:

.

Следовательно, теорему об изменении кинетической энергии (5.23) для твердого тела можно записать в виде

Изменение кинетической энергии твердого тела при каком-либо элементарном перемещении равно элементарной работе внешних сил, действующих на тело.

Если обе части (5.24) проинтегрировать между двумя положениями – начальным и конечным, в которых соответственно кинетическая энергия и , получаем

. (5.25)

Пример 1 . Диск массой m =5 кг и радиусом приводится в движение постоянной силой , приложенной в точке А (рис. 5.6). Диск катится по шероховатой поверхности вправо без скольжения. Определить скорость центра масс С катушки в момент, когда он переместится на расстояние , коэффициент трения скольжения , , радиус инерции диска

Решение. Диск совершает плоское движение. Запишем теорему об изменении кинетической энергии для твердого тела

Вычислим кинетическую энергию диска. В начальный момент времени диск находился в покое, т.е. . Кинетическая энергия в конечном положении диска

Кинетическая энергия механической системы складывается из кинетических энергий всех её точек:

Дифференцируя каждую часть этого равенства по времени, получим

Воспользовавшись основным законом динамики для к -й точки системы m k 2i k = Fj., приходим к равенству

Скалярное произведение силы F на скорость v точки её приложения называют мощностью силы и обозначают Р :

Используя это новое обозначение, представим (11.6) в следующем виде:

Полученное равенство выражает дифференциальную форму теоремы об изменении кинетической энергии: скорость изменения кинетической энергии механической системы равна сумме jмощностей всех действующих на систему cm.

Предс тавив производную f в (8.5) в форме дроби -- и выполнив

затем разделение переменных, получим:

где dT - дифференциал кинетической энергии, т.е. её изменение за бесконечно малый промежуток времени dr, dr k = k dt - элементарное перемещение к- й точки системы, т.е. перемещение за время dt.

Скалярное произведение силы F на элементарное перемещение dr точки её приложения называют элементарной работой силы и обозначают dA:

Используя свойства скалярного произведения можно представить элементарную работу силы также в виде

Здесь ds = dr - длина дуги траектории точки приложения силы, соответствующая её элементарному перемещению с/г; а - угол между направлениями вектора силы F и вектора элементарного перемещения c/r; F„ F y , F, - проекции вектора силы F на декартовы оси; dx, dy, dz - проекции на декартовы оси вектора элементарного перемещения с/г.

С учетом обозначения (11.9) равенство (11.8) можно представить в следующей форме:

т.е. дифференциал кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ всех сил, действующих на систему. Это равенство, так же как и (11.7), выражает дифференциальную форму теоремы об изменении кинетической энергии, но отличается от (11.7) тем, что использует не производные, а бесконечно малые приращения - дифференциалы.

Выполняя почленное интегрирование равенства (11.12), получаем

где в качестве пределов интегрирования использованы: 7 0 - кинетическая энергия системы в момент времени? 0 ; 7) - кинетическая энергия системы в момент времени t x .

Определенные интегралы по временному отрезку или A(F):

Замечание 1. Для вычисления работы иногда удобнее использовать не дуговую параметризацию траектории M(s), а координатную M(x{t), у(/), z(f)). В этом случае для элементарной работы естественно взять представление (11.11), а криволинейный интеграл представить в виде:

С учетом обозначения (11.14) работы на конечном перемещении равенство (11.13) принимает вид

и представляет собой конечную форму теоремы об изменении кинетической энергии механической системы.

Теорема 3. Изменение кинетической энергии механической системы при её перемещении из начального положения в конечное равно сумме работ всех сил, действующих на точки системы на этом перемещении.

Замечание 2. В правой части равенства (11.16) учитываются работы всех сил , действующих на систему, как внешних, так и внутренних. Тем не менее существуют такие механические системы, для которых суммарная работа всех внутренних сил равна нулю. Эго гак называемые неизменяемые системы , у которых расстояния между взаимодействующими материальными точками не меняются. Например, система твердых тел, связанных шарнирами без трения или гибкими нерастяжимыми нитями. Для таких систем в равенстве (11.16) достаточно учесть лишь работы внешних сил, т.е. теорема (11.16) принимает вид:

Скалярная величина Т, равная сумме кинетических энергий всех точек системы, называется кинетической энергией системы.

Кинетическая энергия является характеристикой поступательного и вращательного движения системы. На ее изменение влияет действие внешних сил и так как она является скаляром, то не зависит от направления движения частей системы.

Найдем кинетическую энергию при различных случаях движения:

1. Поступательное движение

Скорости всех точек системы равны скорости центра масс . Тогда

Кинетическая энергия системы при поступательном движении равна половине произведения массы системы на квадрат скорости центра масс.

2. Вращательное движение (рис. 77)

Скорость любой точки тела: . Тогда

или используя формулу (15.3.1):

Кинетическая энергия тела при вращении равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат его угловой скорости.

3. Плоскопараллельное движение

При данном движении кинетическая энергия складывается из энергии поступательного и вращательных движений

Общий случай движения дает формулу, для вычисления кинетической энергии, аналогичную последней.

Определение работы и мощности мы сделали в параграфе 3 главы 14. Здесь же мы рассмотрим примеры вычисления работы и мощности сил действующих на механическую систему.

1. Работа сил тяжести . Пусть , координаты начального и конечного положения точки k тела. Работа силы тяжести действующих на эту частицу веса будет . Тогда полная работа:

где Р - вес системы материальных точек, - вертикальное перемещение центра тяжести С.

2. Работа сил, приложенных к вращающемуся телу .

Согласно соотношению (14.3.1) можно записать , но ds согласно рисунку 74, в силу бесконечной малости можно представить в виде - бесконечно малый угол поворота тела. Тогда

Величина называется вращающим моментом.

Формулу (19.1.6) перепишем как

Элементарная работа равна произведению вращательного момента на элементарный поворот .

При повороте на конечный угол имеем:

Если вращательный момент постоянен , то

а мощность определим из соотношения (14.3.5)

как произведение вращающего момента на угловую скорость тела.

Теорема об изменении кинетической энергии доказанная для точки (§ 14.4) будет справедлива для любой точки системы

Составляя такие уравнения для всех точек системы и складывая их почленно получаем:

или, согласно (19.1.1):

что является выражением теоремы о кинетической энергии системы в дифференциальной форме.

Проинтегрировав (19.2.2) получаем:

Теорему об изменении кинетической энергии в конечном виде: изменение кинетической энергии системы при некотором ее конечном перемещении равно сумме работ на этом перемещении всех приложенных к системе внешних и внутренних сил.

Подчеркнем, что внутренние силы не исключаются. Для неизменяемой системы сумма работ всех внутренних сил равна нулю и

Если связи, наложенные на систему, не изменяются со временем, то силы, как внешние так и внутренние, можно разделить на активные и реакции связей, и уравнение (19.2.2) теперь можно записать:

В динамике вводится такое понятие как "идеальная" механическая система. Это такая система, наличие связей у которой не влияет на изменение кинетической энергии, то есть

Такие связи, не изменяющиеся со временем и сумма работ которых на элементарном перемещении равна нулю, называются идеальными, и уравнение (19.2.5) запишется:

Потенциальной энергией материальной точки в данном положении М называется скалярная величина П, равная той работе, которую произведут силы поля при перемещении точки из положения М в нулевое

П = А (мо) (19.3.1)

Потенциальная энергия зависит от положения точки М, то есть от ее координат

П = П(х,у,z) (19.3.2)

Поясним здесь, что силовым полем называется часть пространственного объема, в каждой точке которого на частицу действует определенная по модулю и направлению сила, зависящая от положения частицы, то есть от координат х, у, z. Например, поле тяготения Земли.

Функция U от координат, дифференциал которой равен работе, называется силовой функцией . Силовое поле, для которого существует силовая функция, называется потенциальным силовым полем , а силы действующие в этом поле, - потенциальными силами .

Пусть нулевые точки для двух силовых функций П(х,у,z) и U(x,y,z) совпадают.

По формуле (14.3.5) получаем , т.е. dA = dU(x,y,z) и

где U - значение силовой функции в точке М. Отсюда

П(x,y,z) = -U(x,y,z) (19.3.5)

Потенциальная энергия в любой точке силового поля равна значению силовой функции в этой точке, взятому с обратным знаком.

То есть, при рассмотрении свойств силового поля вместо силовой функции можно рассматривать потенциальную энергию и, в частности, уравнение (19.3.3) перепишется как

Работа потенциальной силы равна разности значений потенциальной энергии движущейся точки в начальном и конечном положении.

В частности работа силы тяжести:

Пусть все силы, действующие на систему, будут потенциальными. Тогда для каждой точки k системы работа равна

Тогда для всех сил, как внешних, так и внутренних будет

где - потенциальная энергия всей системы.

Подставляем эти суммы в выражение для кинетической энергии (19.2.3):

или окончательно:

При движении под действием потенциальных сил сумма кинетической и потенциальной энергии системы в каждом ее положении остается величиной постоянной. Это закон сохранения механической энергии.

Груз массой 1 кг совершает свободные колебания согласно закону х = 0,1sinl0t. Коэффициент жесткости пружины с = 100 Н/м. Определить полную механическую энергию груза при х = 0,05м, если при х= 0 потенциальная энергия равна нулю . (0,5)

Груз массой m = 4 кг, опускаясь вниз, приводит с помощью нити во вращение цилиндр радиуса R = 0,4 м. Момент инерции цилиндра относительно оси вращения I = 0,2 . Определить кинетическую энергию системы тел в момент времени, когда скорость груза v = 2м/с . (10,5)

Если рассмотреть какую-нибудь точку системы с мас­сой , имеющую скорость , то для этой точки будет

,

где и - элементарные работы действующих на точку внеш­них и внутренних сил. Составляя такие уравнения для каждой из точек системы и складывая их почленно, получим

,

. (2)

Равенство выражает теорему об изменении кине­тической энергии системы в дифференциальной форме.

Если полученное выражение отнести к элементарному промежутку времени, в течение которого произошло рассматриваемое перемещение, можно получить вторую формулировку для дифференциальной формы теоремы: производная по времени от кинетической энергии механической системы равна сумме мощностей всех внешних () и внутренних () сил, т.е.

Дифференциальными формами теоремы об изменении кинетической энергии можно воспользоваться для составления дифференциальных уравнений движения, но это делается достаточно редко, потому что есть более удобные приемы.

Проинтегрировав обе части равенства (2) в пределах, соответствующих перемещению системы из некоторого начального положения, где кинетическая энергия равна , в положение, где значение кинетической энергии становится равным , будемиметь

Полученное уравнение выражает теорему об изменении кинетической энергии в конечном виде: изменение кинетической энергии системы при некотором ее перемещении равно сумме работ на этом пере­мещении всех приложенных к системе внешних и внутренних сил.

В отличие от предыдущих теорем, внутренние силы в уравнениях не исключаются. В самом деле, если и - силы взаимодействия между точками и системы (см. рис.51), то . Но при этом точка , может перемещаться по направ­лению к , а точка - по направлению к . Работа каждой из сил бу­дет тогда положительной и сумма работ нулем не будет. Примером мо­жет служить явление отката. Внутренние силы (силы давления), действующие и на снаряд и на откатывающиеся части, совершают здесь положительную работу. Сумма этих работ, не равная нулю, и изменяет кинетическую энергию системы от вели­чины в начале выстрела до величины конце.

Другой пример: две точки, соединенные пружиной. При изменении расстояния между точками упругие силы, приложенные к точкам, будут совершать работу. Но если система состоит из абсолютно твердых тел и связи между ними неизменяемые, не упругие, идеальные, то работа внутренних сил будет равна нулю и их можно не учитывать и вообще не показывать на расчетной схеме.

Рассмотрим два важных частных случая.

1) Неизменяемая система . Неизменяемой будем называть систему, в которой расстояния между точками приложения внутрен­них сил при движении системы не изменяются. В частности, такой системой является абсолютно твердое тело или нерастяжимая нить.

Рис.51

Пусть две точки и неизменяе­мой системы (pис.51), действующие друг на друга с силами и () имеют в данный момент скорости и . Тогда за промежу­ток времени dt эти точки совершат элементарные перемещения и , направленные вдоль векторов и . Но таккак отрезок является неизменяемым, то по известной теореме кинематики про­екции векторов и , а, следовательно, и перемещений и на направление отрезка будут равны друг другу, т.е. . Тогда элементарные работы сил и будут одинаковы по мо­дулю и противоположны по знаку и в сумме дадут нуль. Этот резуль­тат справедлив для всех внутренних сил при любом перемещении системы.

Отсюда заключаем, что для неизменяемой системы сумма работ всех внутренних сил равна нулю и уравнения принимают вид

2) Система с идеальными связями . Рассмотрим систему, на которую наложены связи, не изменяющиеся со временем. Разделим все действующие на точки системы внешние и внутренние силы на активные и реакции связей. Тогда

,

где - элементарная работа действующих на k- ю точку системы внешних и внутренних активных сил, a - элементарная работа реакций наложенных на ту же точку внешних и внутренних связей.

Как видим, изменение кинетической энергии системы зависит от работы и активных сил и реакций связей. Однако можно ввести по­нятие о таких «идеальных» механических системах, у которых нали­чие связей не влияет на изменение кинетической энергии системы при ее движении. Для таких связей должно, очевидно, выполняться условие:

Если для связей, не изменяющихся со временем, сумма работ всех реакций при элементарном перемещении системы равна нулю, то такие связи назы­вают идеальными. Для механической системы, на которую наложены только не изменяющиеся со временем идеальные связи, будем, очевидно, иметь

Таким образом, изменение кинетической энергии системы с идеальными, не изменяющимися со временем связями при любом ее перемещении равно сумме работ на этом перемещении, приложенных к системе внешних и внутренних активных сил.

Механическая система называется консервативной (энергия ее как бы законсервирована, не изменяется), если для нее имеет место интеграл энергии

или (3)

Это есть закон сохранения механической энергии: при движении системы в потенциальном поле механическая энергия ее (сумма потенциальной и кинетической) все время остается неизменной, постоянной.

Механическая система будет консервативной, если действующие на нее силы потенциальны, например сила тяжести, силы упругости. В консервативных механических системах с помощью интеграла энергии можно проводить проверку правильности составления дифференциальных уравнений движения. Если система консервативна, а условие (3) не выполняется, значит при составлении уравнений движения допущена ошибка.

Интегралом энергии можно воспользоваться для проверки правильности составления уравнений и другим способом, без вычисления производной. Для этого следует после проведения численного интегрирования уравнений движения вычислить значение полной механической энергии для двух различных моментов времени, например, начального и конечного. Если разница значений окажется сопоставимой с погрешностями вычислений, это будет свидетельствовать о правильности используемых уравнений.

Все предыдущие теоремы позволяли исключить из уравнений движения внутренние силы, но все внешние силы, в том числе и наперед неизвестные реакции внешних связей, в уравнениях сохранялись. Практическая ценность теоремы об изменении кинетической энергии состоит в том, что при не изменяющихся со временем идеальных связях она позволит исключить из уравнений движения все наперед неизвестные реакции связей.

Кинетическая энергия механической системы - это сумма кинетических энергий всех ее материальных точек:

Вычислим дифференциал от выражения кинетической энергии и выполним некоторые простые преобразования:

Опуская промежуточные значения и применяя ранее введенный для обозначения элементарной работы символ , запишем:

Итак, дифференциал кинетической энергии механической системы равен сумме элементарных работ всех внешних и внутренних сил, действующих на точки системы. В этом и состоит содержание теоремы об изменении кинетической энергии.

Заметим, что сумма работ внутренних сил системы в общем случае не равна нулю. Она обращается в нуль только в некоторых частных случаях: когда системой служит абсолютно твердое тело; система абсолютно твердых тел, взаимодействующих при помощи не-деформируемых элементов (идеальных шарниров, абсолютно твердых стержней, нерастяжимых нитей и т.п.). По этой причине теорема об изменении кинетической энергии является единственной из общих теорем динамики, которая учитывает эффект действия внутренних сил.

Можно интересоваться изменением кинетической энергии не за бесконечно малый промежуток времени, как это делается выше, а за некоторый конечный промежуток времени . Тогда при помощи интегрирования можно получить:

Здесь - значения кинетической энергии соответственно в моменты времени - суммы полных работ внешних и внутренних сил за рассматриваемый промежуток времени.

Полученное равенство выражает теорему об изменении кинетической энергии в конечной (интегральной) форме, которая может быть сформулирована так: изменение кинетической энергии при переходе механической системы из одного положения в другое равно сумме полных работ всех внешних и внутренних сил.